ALES Sayısal · 11. hafta
Dörtgenler, çokgenler, çember
Bu konudan sınavda ortalama 4,3 soru çıkıyor (son 11 ALES).
ALES'te bu konu nasıl çıkar? Dörtgenler ve çokgenler soruları genelde 46–47. sorular civarında, çember soruları 47–48. sorular civarında, katı cisim (hacim/yüzey alanı) soruları ise 48–50. sorular arasında karşına çıkar. Sınav başına dörtgen-çokgenden ortalama 2, çemberden 1, katı cisimden 1 soru bekleyebilirsin. Tipik kalıp: bir dörtgen ya da dairenin kenarları/yarıçapı sözle verilir, alan-çevre istenir; ya da bir çemberde açı ilişkileri sorulur.
1. Dörtgenler: alan ve çevre
Dörtgenlerde en çok işine yarayacak şey, her birinin alan formülünü hızlıca hatırlayabilmek. Aşağıdaki tabloyu ezberlemek, soru çözerken zaman kazandırır.
| Şekil | Çevre | Alan |
|---|---|---|
| Kare (kenar a) | 4a | a² |
| Dikdörtgen (kenarlar a, b) | 2(a+b) | a·b |
| Paralelkenar (kenar a, yükseklik h) | 2(a+b) | a·h |
| Yamuk (tabanlar a, b; yükseklik h) | kenarların toplamı | (a+b)·h / 2 |
| Eşkenar dörtgen (köşegenler d₁, d₂) | 4·kenar | d₁·d₂ / 2 |
Dikdörtgen: kenarlar a ve b ise Çevre = 2(a+b), Alan = a·b.
Mini örnek: Kenarları 8 cm ve 5 cm olan bir dikdörtgenin çevresi 2(8+5) = 26 cm, alanı 8·5 = 40 cm²'dir.
Yamuk: paralel iki kenarına taban denir (a ve b), aralarındaki dik uzaklığa yükseklik (h). Alan = (a+b)·h / 2.
Mini örnek: Tabanları 10 cm ve 6 cm, yüksekliği 4 cm olan bir yamuğun alanı = (10+6)·4/2 = 16·4/2 = 32 cm²'dir.
Eşkenar dörtgen: Dört kenarı eşit, köşegenleri birbirine dik olan dörtgendir. Alan = (d₁·d₂) / 2, burada d₁ ve d₂ köşegen uzunluklarıdır.
Mini örnek: Köşegenleri 6 cm ve 8 cm olan eşkenar dörtgenin alanı = 6·8/2 = 24 cm²'dir.
Tuzak: Eşkenar dörtgen ile kare karıştırılabilir. Kare de bir eşkenar dörtgendir (dört kenarı eşit) ama açıları da 90°'dir; genel eşkenar dörtgende açılar 90° olmak zorunda değildir. Soruda "eşkenar dörtgen" deniyorsa köşegen formülünü, "kare" deniyorsa a² formülünü kullan.
2. Düzgün altıgen
Düzgün altıgen, altı kenarı ve altı açısı da birbirine eşit olan çokgendir. En kullanışlı özelliği: merkeze birleştirilen köşegenlerle 6 eşit eşkenar üçgene bölünür.
Düzgün altıgen alanı: Kenar uzunluğu a ise, altıgen 6 eşkenar üçgene bölünür ve her birinin alanı (√3/4)a²'dir.
Altıgen alanı = 6 · (√3/4) · a² = (3√3/2) · a²
Mini örnek: Kenarı 2 cm olan düzgün altıgende bir eşkenar üçgenin alanı (√3/4)·2² = √3 ≈ 1,73 cm²'dir. Altıgenin toplam alanı 6·√3 = 6√3 ≈ 10,39 cm²'dir.
3. Çokgenlerde iç açılar toplamı
n kenarlı bir çokgende iç açılar toplamı: (n − 2) · 180°
Düzgün çokgende (bütün kenar ve açılar eşit) bir iç açının ölçüsü = [(n − 2) · 180°] / n
Mini örnek: Sekizgende (n = 8) iç açılar toplamı (8−2)·180° = 6·180° = 1080°'dir. Düzgün sekizgende bir iç açı 1080°/8 = 135°'dir.
Tuzak: "İç açılar toplamı" ile "bir iç açının ölçüsü" farklı şeylerdir; soru düzgün çokgende TEK bir açıyı soruyorsa toplamı n'e bölmeyi unutma. Ayrıca üçgen için n=3 alırsan (3−2)·180=180° çıkar — bu formülün üçgendeki iç açılar kuralını da kapsadığını gösterir, kontrol amaçlı hatırlayabilirsin.
4. Çemberde açılar
Çemberde iki önemli açı türü vardır: merkez açı (köşesi çemberin merkezinde olan açı) ve çevre açı (köşesi çember üzerinde olan açı). Aynı yayı gören bu iki açı arasında sabit bir oran vardır.
Merkez açı – çevre açı ilişkisi: Aynı yayı gören çevre açı, merkez açının yarısına eşittir.
Çevre açı = Merkez açı / 2
Mini örnek: Bir yayı gören merkez açı 80° ise, aynı yayı gören çevre açı 80°/2 = 40°'dir.
Özel durum: Bir çapı gören çevre açı her zaman 90°'dir (çünkü çapa karşılık gelen merkez açı 180°'dir, 180°/2 = 90°).
5. Daire: çevre, alan ve dilim
Daire çevresi = 2·π·r Daire alanı = π·r² (r: yarıçap)
ALES'te π genelde 22/7 veya 3 gibi yaklaşık bir değer olarak verilir, ya da cevap π'li bırakılır (örn. "6π cm²").
Mini örnek: Yarıçapı 7 cm olan bir dairede π = 22/7 alınırsa çevre = 2·(22/7)·7 = 44 cm, alan = (22/7)·7² = 154 cm²'dir.
Daire dilimi (merkez açısı x° olan): Alan = (x/360) · π · r²
Mini örnek: Yarıçapı 6 cm, merkez açısı 60° olan bir daire diliminin alanı = (60/360)·π·6² = (1/6)·36π = 6π cm²'dir.
6. Katı cisimler (kısaca)
ALES'te katı cisim soruları genelde hacim veya yüzey alanı formülünün doğrudan uygulanmasından ibarettir; karmaşık kesitler beklenmez.
| Cisim | Hacim | Yüzey alanı |
|---|---|---|
| Küp (kenar a) | a³ | 6a² |
| Dikdörtgenler prizması (a, b, c) | a·b·c | 2(ab+bc+ac) |
| Silindir (yarıçap r, yükseklik h) | π·r²·h | 2πr² + 2πrh (taban + yan yüzey) |
Mini örnek: Kenarı 5 cm olan bir küpün hacmi 5³ = 125 cm³, yüzey alanı 6·5² = 150 cm²'dir. Kenarları 4, 3 ve 6 cm olan dikdörtgenler prizmasının hacmi 4·3·6 = 72 cm³, yüzey alanı 2(4·3 + 3·6 + 4·6) = 2(12+18+24) = 108 cm²'dir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir dikdörtgenin kenarları 8 cm ve 5 cm'dir. Bu dikdörtgenin alanı kaç cm²'dir?
A) 13 B) 26 C) 30 D) 40 E) 45
Çözüm
Dikdörtgende alan = kenarların çarpımı = 8 · 5 = 40 cm².
Cevap: D) 40
Örnek 2. Bir yamuğun paralel kenarları 10 cm ve 6 cm, yüksekliği 4 cm'dir. Bu yamuğun alanı kaç cm²'dir?
A) 16 B) 24 C) 32 D) 40 E) 64
Çözüm
Yamuk alanı = (taban toplamı · yükseklik) / 2 = (10+6)·4/2 = 16·4/2 = 32 cm².
Cevap: C) 32
Örnek 3. Kenar uzunluğu 2 cm olan düzgün bir altıgenin alanı kaç cm²'dir?
A) 2√3 B) 3√3 C) 4√3 D) 6√3 E) 8√3
Çözüm
Düzgün altıgen 6 eşkenar üçgene bölünür. Kenarı 2 olan bir eşkenar üçgenin alanı (√3/4)·2² = √3 cm²'dir.
Altıgenin toplam alanı = 6 · √3 = 6√3 cm².
Cevap: D) 6√3
Örnek 4. Düzgün bir sekizgende bir iç açının ölçüsü kaç derecedir?
A) 45° B) 90° C) 120° D) 135° E) 150°
Çözüm
n = 8 için iç açılar toplamı = (8−2)·180° = 1080°.
Düzgün çokgende her açı eşit olduğundan bir iç açı = 1080°/8 = 135°.
Cevap: D) 135°
Örnek 5. Bir çemberde bir yayı gören merkez açı 80°'dir. Aynı yayı gören çevre açı kaç derecedir?
A) 20° B) 40° C) 80° D) 100° E) 160°
Çözüm
Çevre açı, aynı yayı gören merkez açının yarısına eşittir: 80°/2 = 40°.
Cevap: B) 40°
Örnek 6. Yarıçapı 7 cm olan bir dairenin çevresi kaç cm'dir? (π = 22/7 alınız.)
A) 22 B) 28 C) 44 D) 49 E) 154
Çözüm
Çevre = 2·π·r = 2·(22/7)·7 = 2·22 = 44 cm.
Cevap: C) 44
Örnek 7. Yarıçapı 6 cm, merkez açısı 60° olan bir daire diliminin alanı kaç cm²'dir? (Cevabı π cinsinden verin.)
A) 3π B) 6π C) 9π D) 12π E) 18π
Çözüm
Dilim alanı = (merkez açı/360°) · π · r² = (60/360) · π · 6² = (1/6) · 36π = 6π cm².
Cevap: B) 6π
Tuzak: Daire ile ilgili sorularda "çevre" ve "alan" formüllerini karıştırmak çok yaygındır: çevre 2πr (r'nin 1. kuvveti), alan πr² (r'nin 2. kuvveti). r büyüdükçe alan çok daha hızlı büyür — birim de farklıdır (çevre "cm", alan "cm²").
7. Paralelkenar alanı
Paralelkenar, karşılıklı kenarları paralel ve eşit olan bir dörtgendir. Alanı, dikdörtgende olduğu gibi taban ile yükseklik çarpımından bulunur; ama burada yükseklik, kenarın kendisi değil, o kenara ait dik uzaklıktır.
Paralelkenar: Taban a, tabana ait yükseklik h ise Alan = a · h. Çevre = 2(a+b) (b: diğer kenar).
Mini örnek: Tabanı 9 cm, bu tabana ait yüksekliği 5 cm olan bir paralelkenarın alanı = 9 · 5 = 45 cm²'dir.
Tuzak: Paralelkenarda "kenar" ile "yükseklik" aynı şey değildir; yükseklik her zaman kenara diktir ve genelde kenardan kısadır (kenar eğik olduğu için). Soruda "eğik kenar 7 cm" gibi bir bilgi verilip alan istenirse, o kenarı değil, verilen yüksekliği kullanman gerekir.
8. Kirişler dörtgeni (çembere içi çizilen dörtgen)
Bir dörtgenin dört köşesi de aynı çember üzerindeyse, bu dörtgene kirişler dörtgeni denir. Böyle dörtgenlerde karşılıklı açılar arasında sabit bir ilişki vardır.
Kirişler dörtgeni özelliği: Çembere içi çizilen bir dörtgende karşılıklı açıların toplamı 180°'dir.
Mini örnek: Kirişler dörtgeninde bir açı 100° ise, ona karşılık gelen açı 180° − 100° = 80°'dir.
9. Yay uzunluğu
Daire diliminin alanını merkez açı oranıyla bulduğumuz gibi, o dilimin dış kenarındaki eğri parçanın uzunluğuna da yay uzunluğu denir ve aynı mantıkla, çevrenin merkez açı oranındaki kısmı olarak hesaplanır.
Yay uzunluğu (merkez açısı x° olan): Uzunluk = (x/360) · 2 · π · r
Mini örnek: Yarıçapı 9 cm, merkez açısı 120° olan bir yayın uzunluğu = (120/360)·2·π·9 = (1/3)·18π = 6π cm'dir.
Adım adım çözüm şablonu (dörtgen-çokgen-çember sorularında böyle ilerle):
- 1) Şekil hangi tür? (Dikdörtgen mi, yamuk mu, çokgen mi, çember mi?)
- 2) İstenen "alan" mı, "çevre/yay uzunluğu" mu? İkisini karıştırma (birimleri de farklıdır: cm ve cm²).
- 3) Doğru formülü seç ve verilenleri yerine koy.
- 4) π'li bir soru mu, yoksa π yaklaşık bir değer mi (22/7, 3)? Soruda belirtileni kullan.
- 5) Sonucu birimiyle birlikte kontrol et.
Tuzak: "Yay uzunluğu" ile "dilim alanı" karıştırılabilir; ikisi de aynı (x/360) oranını kullanır ama biri çevreyle (2πr, birim cm), diğeri alanla (πr², birim cm²) çarpılır. Soruda "kaç cm" mi yoksa "kaç cm²" mi istendiğine bakarak hangi formülü kullanacağını belirle.
Ek çözümlü örnekler
Örnek 8. Bir paralelkenarın tabanı 9 cm, bu tabana ait yüksekliği 5 cm'dir. Bu paralelkenarın alanı kaç cm²'dir?
A) 14 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50
Çözüm
Paralelkenar alanı = taban · yükseklik = 9 · 5 = 45 cm².
Cevap: D) 45
Örnek 9. Çembere içi çizilen bir dörtgende bir açı 100°'dir. Bu açıya karşılık gelen açı kaç derecedir?
A) 70° B) 75° C) 80° D) 90° E) 100°
Çözüm
Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların toplamı 180°'dir. Aranan açı = 180° − 100° = 80°.
Cevap: C) 80°
Örnek 10. Yarıçapı 9 cm, merkez açısı 120° olan bir dairede, bu açının gördüğü yayın uzunluğu kaç cm'dir? (Cevabı π cinsinden verin.)
A) 3π B) 4π C) 6π D) 9π E) 12π
Çözüm
Yay uzunluğu = (merkez açı/360°) · 2 · π · r = (120/360) · 2π·9 = (1/3) · 18π = 6π cm.
Cevap: C) 6π
Kendini dene
Alıştırma 1. Çevresi 24 cm olan bir karenin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm
Kare çevresi 4a olduğundan a = 24/4 = 6 cm. Alan = a² = 6² = 36 cm².
Cevap: 36 cm²
Alıştırma 2. Alanı 48 cm² olan bir dikdörtgenin bir kenarı 6 cm'dir. Bu dikdörtgenin çevresi kaç cm'dir?
Çözüm
Diğer kenar = 48/6 = 8 cm. Çevre = 2(6+8) = 2·14 = 28 cm.
Cevap: 28 cm
Alıştırma 3. Düzgün bir beşgende bir iç açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm
İç açılar toplamı (5−2)·180° = 540°. Bir açı = 540°/5 = 108°.
Cevap: 108°
Alıştırma 4. Yarıçapı 10 cm olan bir dairenin alanı π cinsinden kaç cm²'dir?
Çözüm
Alan = π·r² = π·10² = 100π cm².
Cevap: 100π cm²
Alıştırma 5. Köşegenleri 10 cm ve 24 cm olan bir eşkenar dörtgenin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm
Alan = d₁·d₂/2 = (10·24)/2 = 240/2 = 120 cm².
Cevap: 120 cm²
Özet
- Dikdörtgen alanı = a·b, çevresi = 2(a+b); yamuk alanı = (a+b)·h/2; eşkenar dörtgen alanı = d₁·d₂/2.
- Düzgün altıgen 6 eşkenar üçgene bölünür; alan = 6·(√3/4)·kenar².
- n kenarlı çokgende iç açılar toplamı = (n−2)·180°; düzgün çokgende bir açı bu toplamın n'e bölünmüş halidir.
- Çemberde çevre açı, aynı yayı gören merkez açının yarısına eşittir; çapı gören çevre açı her zaman 90°'dir.
- Daire çevresi = 2πr, alanı = πr²; dilim alanı = (merkez açı/360°)·πr².
- Küp hacmi a³, yüzeyi 6a²; dikdörtgenler prizması hacmi a·b·c, yüzeyi 2(ab+bc+ac); silindir hacmi πr²h.
- Alan ile çevre formüllerini, kare ile eşkenar dörtgen formüllerini karıştırma.
- Paralelkenar alanı = taban · yükseklik (yükseklik, kenara diktir, eğik kenarın kendisi değildir).
- Çembere içi çizilen (kirişler) dörtgende karşılıklı açıların toplamı 180°'dir.
- Yay uzunluğu = (merkez açı/360°)·2πr; dilim alanından farklı olarak birimi cm'dir, cm² değildir.