ALES Sayısal · 9. hafta
Üçgenler
Bu konudan sınavda ortalama 2,0 soru çıkıyor (son 11 ALES).
ALES'te bu konu nasıl çıkar? Üçgenlerle ilgili sorular ALES sayısal bölümünde genelde sona doğru, yaklaşık 43–45. sorular civarında karşına çıkar; sınav başına ortalama 2 soru bekleyebilirsin. Tipik kalıp şudur: sana bir üçgen sözle tarif edilir (kenar uzunlukları veya açılardan bazıları verilir), bir bilinmeyeni (açı, kenar veya alan) bulman istenir. Bazen de iki üçgenin benzer olduğu söylenir ve kenar/alan oranı sorulur. Şekil çoğu zaman "yardımcı"dır; asıl iş, doğru kuralı (iç açılar toplamı, Pisagor, benzerlik) hatırlayıp uygulamaktır.
1. Üçgende açılar
Bir üçgenin üç iç açısı vardır ve bunların toplamı her zaman sabittir. Bu, geometri bilginin en temel taşı — çoğu soru dolaylı olarak buna dayanır.
İç açılar toplamı kuralı: Bir üçgende iç açılar A, B, C ise
A + B + C = 180°
Mini örnek: Bir üçgenin açıları x, 2x ve 3x olsun. O zaman x + 2x + 3x = 180°, yani 6x = 180°, x = 30°. Açılar sırasıyla 30°, 60°, 90°'dir.
Dış açı kuralı: Bir üçgenin bir dış açısı, kendisine komşu olmayan diğer iki iç açının toplamına eşittir.
Dış açı = 180° − (komşu iç açı) = (diğer iki iç açının toplamı)
Mini örnek: Bir üçgenin iki iç açısı 50° ve 70° ise, üçüncü iç açı 180° − 50° − 70° = 60°'tir. Bu 60°'lik açıya komşu olan dış açı ise 180° − 60° = 120°'dir. Dikkat et: bu değer aynı zamanda 50° + 70° = 120°'ye de eşit çıkıyor — dış açı kuralının kısayolu tam olarak bu.
Tuzak: "Dış açı" ile "üçüncü iç açının bütünleri" karıştırılabilir. Bir köşedeki dış açı, o köşedeki iç açının bütünleyicisidir (toplamları 180°), ama sayısal olarak diğer iki iç açının toplamına eşittir. Soruyu çözerken hangi köşenin dış açısının sorulduğuna dikkat et.
2. İkizkenar ve eşkenar üçgen
İkizkenar üçgen: İki kenarı eşit olan üçgendir; bu iki eşit kenarın karşısındaki açılar da birbirine eşittir (taban açıları eşittir). Üçüncü kenara "taban", tabana ait açılara da "taban açıları" denir. İkizkenar üçgende tepe açısından tabana inen dikme aynı zamanda hem açıortay hem de kenarortaydır — yani tabanı tam ortadan ikiye böler. Bu özellik, ikizkenar üçgeni iki eş dik üçgene ayırıp Pisagor uygulamak için sık kullanılır.
Eşkenar üçgen: Üç kenarı da eşit olan üçgendir; bu durumda üç açı da eşittir ve her biri 180°/3 = 60°'dir. Eşkenar üçgen aynı zamanda özel bir ikizkenar üçgendir (üç kenarı da birbirine eşit olduğundan her iki kenar çifti için ikizkenarlık şartı otomatik sağlanır).
Mini örnek: İkizkenar bir üçgende tepe açısı 40° ise, geri kalan 140° iki eşit taban açısına paylaştırılır: 140°/2 = 70°. Taban açılarının her biri 70°'dir.
İkizkenar üçgende: eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir.
Eşkenar üçgende: her açı 60°'dir; kenar a ise alan = √34 · a².
3. Pisagor bağıntısı
Bir üçgenin dik açısı varsa (yani 90°'lik bir açısı varsa), buna dik üçgen denir. Dik açının karşısındaki (en uzun) kenara hipotenüs, diğer iki kenara dik kenarlar denir.
Pisagor bağıntısı: Dik kenarlar a ve b, hipotenüs c ise
a² + b² = c²
Mini örnek: Dik kenarları 9 ve 12 olan dik üçgende hipotenüs: √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15.
Sık kullanılan Pisagor üçlüleri (ezberlemesi işini çok hızlandırır, çünkü kök almana gerek kalmaz):
- 3 – 4 – 5 (ve katları: 6-8-10, 9-12-15, ...)
- 5 – 12 – 13
- 6 – 8 – 10 (3-4-5'in 2 katı)
Doğrulama: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²; 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²; 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10².
Tuzak: Pisagor üçlüsünü görünce hemen "hipotenüs en büyük sayıdır" diye ezberleme yanlış anlaşılmasın — 5-12-13'te hipotenüs 13, yani üç sayının en büyüğü her zaman hipotenüstür. Ama soruda kenarlar 12 ve 13 verilip 5 isteniyorsa, çıkarma işlemine dikkat et: 13² − 12² = 169 − 144 = 25, kök alınca 5. Toplama ile çıkarmayı karıştırmak en sık yapılan hatadır.
4. Özel açılı dik üçgenler: 30-60-90 ve 45-45-90
Bu iki üçgen o kadar sık çıkar ki kenar oranlarını ezbere bilmek zaman kazandırır.
30-60-90 üçgeni (kısa kenar : orta kenar : hipotenüs oranı):
a : a√3 : 2a
(30°'nin karşısındaki kenar en kısa, 60°'nin karşısındaki a√3, 90°'nin karşısındaki 2a'dır.)
45-45-90 üçgeni (ikizkenar dik üçgen):
a : a : a√2
Mini örnek: 30-60-90 üçgeninde kısa kenar 5 ise, orta kenar 5√3 ≈ 8,66 ve hipotenüs 2·5 = 10'dur.
5. Benzerlik ve alan oranı
İki üçgen, açıları birebir eşit ve kenarları orantılıysa benzerdir. Benzer üçgenlerde kenar uzunluklarının oranına benzerlik oranı (k) denir.
Benzerlik ve alan: Benzerlik oranı k ise (kenarlar oranı), alanların oranı k²'dir.
Alan oranı = k²
Mini örnek: İki benzer üçgenin kenar oranı 2:3'tür (k = 3/2, küçükten büyüğe). Küçük üçgenin alanı 8 br² ise, büyük üçgenin alanı 8 · (3/2)² = 8 · 2,25 = 18 br²'dir.
Tuzak: Alan oranını kenar oranıyla aynı sanmak en yaygın hatalardan biri. Kenarlar 2 katına çıkarsa alan 2 kat değil, 2² = 4 kat artar. Soruda "alan" kelimesi geçiyorsa mutlaka kareye alma adımını unutma.
6. Alan formülleri
Genel alan formülü: Alan = taban · yükseklik2
Eşkenar üçgen: Alan = √34 · kenar²
Mini örnek: Tabanı 10, o tabana ait yüksekliği 6 olan bir üçgenin alanı = (10 · 6) / 2 = 30 br²'dir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir üçgenin iç açıları x, 2x ve 3x ölçüsündedir. Bu üçgenin en büyük açısı kaç derecedir?
A) 30° B) 60° C) 90° D) 120° E) 150°
Çözüm
İç açılar toplamı 180° olduğundan: x + 2x + 3x = 180° → 6x = 180° → x = 30°.
Açılar: 30°, 60°, 90°. En büyüğü 3x = 90°'dir.
Cevap: C) 90°
Örnek 2. Bir üçgenin iki iç açısı 50° ve 70°'dir. Bu iki açının komşusu olmayan üçüncü köşedeki dış açı kaç derecedir?
A) 60° B) 100° C) 110° D) 120° E) 130°
Çözüm
Üçüncü iç açı = 180° − 50° − 70° = 60°.
Bu köşedeki dış açı, üçüncü iç açının bütünleyicisidir: 180° − 60° = 120°. (Kontrol: 50° + 70° = 120°, dış açı kuralıyla uyumlu.)
Cevap: D) 120°
Örnek 3. Bir dik üçgende dik kenarlar 9 cm ve 12 cm'dir. Hipotenüs kaç cm'dir?
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 21
Çözüm
Pisagor bağıntısı: hipotenüs² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225.
Hipotenüs = √225 = 15 cm.
Not: 9 ve 12, 3-4-5 üçlüsünün 3 katıdır (3·3=9, 4·3=12), bu yüzden hipotenüs de 5·3=15 olmalıydı — kısayoldan da aynı sonuca ulaşılır.
Cevap: C) 15
Örnek 4. 30°-60°-90° açılı bir üçgende, 30°'nin karşısındaki kenar 5 cm'dir. Hipotenüs kaç cm'dir?
A) 5 B) 5√2 C) 5√3 D) 10 E) 10√3
Çözüm
30-60-90 üçgeninde kenar oranı a : a√3 : 2a'dır. 30°'nin karşısındaki kenar en kısa olan "a"dır, burada a = 5.
Hipotenüs (90°'nin karşısı) = 2a = 2 · 5 = 10 cm.
Cevap: D) 10
Örnek 5. Kenar uzunlukları oranı 2:3 olan iki benzer üçgenden küçüğünün alanı 8 cm²'dir. Büyük üçgenin alanı kaç cm²'dir?
A) 12 B) 16 C) 18 D) 24 E) 32
Çözüm
Benzerlik oranı (küçükten büyüğe) k = 3/2'dir. Alan oranı k² = (3/2)² = 9/4'tür.
Büyük üçgenin alanı = 8 · 9/4 = 18 cm².
Cevap: C) 18
Örnek 6. Bir üçgenin tabanı 10 cm, bu tabana ait yüksekliği 6 cm'dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?
A) 16 B) 24 C) 30 D) 36 E) 60
Çözüm
Alan = (taban · yükseklik) / 2 = (10 · 6) / 2 = 60 / 2 = 30 cm².
Cevap: C) 30
Tuzak: "Üçgen eşitsizliği" denen kuralı unutma: bir üçgenin iki kenarının toplamı üçüncü kenardan büyük olmak zorundadır. Sana verilen üç uzunluğun gerçekten bir üçgen oluşturup oluşturmadığını (örneğin 2, 3, 6 gibi bir üçlü üçgen OLUŞTURMAZ çünkü 2+3=5 < 6) kontrol etmeden hesaba girişme; bazı ALES soruları bunu bir "olası mı, değil mi" sorusu olarak sorar.
7. Üçgen eşitsizliği: üç uzunluk her zaman üçgen kurmaz
Sana üç uzunluk verildiğinde, bunların gerçekten bir üçgen oluşturup oluşturmadığını kontrol etmen gerekebilir. Bunun kuralı basittir: herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır. Bu şart sağlanmazsa üçgen çizilemez — üç çubuğu yan yana koysan bile ya düz bir çizgi olur ya da uçlar birleşmez.
Üçgen eşitsizliği: Kenarlar a, b, c ise, her zaman şu ikisi birden sağlanmalıdır:
a + b > c ve |a − b| < c
Kısaca: üçüncü kenar, diğer iki kenarın farkı ile toplamı arasında olmalıdır.
Mini örnek: Kenarları 4 cm ve 9 cm olan bir üçgenin üçüncü kenarı x ise, |9−4| < x < 9+4, yani 5 < x < 13 olmalıdır. x = 5 ya da x = 13 olamaz, ama x = 6, 7, ... 12 gibi tam sayı değerleri alabilir.
8. Kenarortay ve ağırlık merkezi
Bir üçgende bir köşeyi, karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. Üç kenarortay her zaman tek bir noktada kesişir; bu noktaya ağırlık merkezi denir. Ağırlık merkezinin önemli bir özelliği vardır: her kenarortayı köşeden başlayarak 2:1 oranında böler.
Ağırlık merkezi (G): Bir kenarortayın köşeden ağırlık merkezine olan parçası, ağırlık merkezinden kenarın orta noktasına olan parçasının 2 katıdır.
Köşe–G : G–Orta nokta = 2 : 1
Mini örnek: Bir kenarortayın uzunluğu 15 cm ise, köşe ile ağırlık merkezi arasındaki uzaklık 2 birim, ağırlık merkezi ile orta nokta arasındaki uzaklık 1 birim olacak şekilde 15'i 3'e böleriz: her birim 15/3 = 5 cm. Köşe–G uzaklığı 2·5 = 10 cm, G–orta nokta uzaklığı 5 cm'dir.
9. Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik
Bir dik üçgende, dik açının köşesinden hipotenüse indirilen yükseklik de sık sorulan bir bilgidir. Bu yükseklik, dik kenarların çarpımının hipotenüse bölümüne eşittir.
Hipotenüse ait yükseklik: Dik kenarlar a, b; hipotenüs c; hipotenüse ait yükseklik h ise
h = (a · b) / c
Mini örnek: Dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan dik üçgende hipotenüs (6-8-10 üçlüsünden) 10 cm'dir. Hipotenüse ait yükseklik h = (6·8)/10 = 48/10 = 4,8 cm'dir.
Adım adım çözüm şablonu (sıfırdan bir üçgen sorusuna böyle yaklaş):
- 1) Verilenleri not et: kaç kenar, kaç açı biliniyor? Dik açı var mı?
- 2) Şekli (zihninde ya da kâğıtta) çiz, bilinmeyeni işaretle.
- 3) Hangi kural işe yarar? (İç açılar toplamı mı, Pisagor mu, benzerlik mi, özel üçgen oranı mı?)
- 4) Kuralı uygula, işlemi yap.
- 5) Sonucu mantık kontrolünden geçir (örneğin hipotenüs her zaman en uzun kenar olmalı).
Tuzak: Kenarortayı yükseklik ya da açıortay ile karıştırma. Sadece ikizkenar (ya da eşkenar) üçgende, tepe köşesinden inilen kenarortay aynı zamanda yükseklik ve açıortaydır. Genel (kenarları farklı) bir üçgende bu üçü farklı doğru parçalarıdır ve birbirinin yerine kullanılamaz.
Ek çözümlü örnekler
Örnek 7. Kenar uzunlukları 4 cm, 7 cm ve x cm olan bir üçgende, x tam sayı olmak üzere alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
Çözüm
Üçgen eşitsizliğine göre |7−4| < x < 7+4, yani 3 < x < 11.
x tam sayı olduğuna göre alabileceği en büyük değer 10'dur (11 sınırın kendisi olduğu için, yani eşitlik durumunda üçgen dejenere olur ve kabul edilmez).
Cevap: C) 10
Örnek 8. Bir üçgende bir kenarortayın uzunluğu 12 cm'dir. Ağırlık merkezinden, bu kenarortayın karşı kenardaki ayağına (orta noktaya) olan uzaklık kaç cm'dir?
A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9
Çözüm
Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden başlayarak 2:1 oranında böler; yani kenarortay toplamda 2+1=3 eşit parçaya ayrılır.
Bir parça = 12 / 3 = 4 cm. Ağırlık merkezinden orta noktaya olan uzaklık, bu 1 parçalık kısımdır: 4 cm.
Cevap: B) 4
Örnek 9. Dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan bir dik üçgende, hipotenüse ait yükseklik kaç cm'dir?
A) 3,6 B) 4 C) 4,8 D) 5 E) 6
Çözüm
Önce hipotenüsü bul: 6 ve 8, 3-4-5 üçlüsünün 2 katı olduğundan hipotenüs 10 cm'dir (kontrol: √(6²+8²) = √(36+64) = √100 = 10).
Hipotenüse ait yükseklik h = (a·b)/c = (6·8)/10 = 48/10 = 4,8 cm.
Cevap: C) 4,8
Kendini dene
Alıştırma 1. Bir üçgenin açıları x, x+10 ve x+20 derecedir. En büyük açı kaç derecedir?
Çözüm
x + (x+10) + (x+20) = 180° → 3x + 30° = 180° → x = 50°. Açılar 50°, 60°, 70°'tir.
Cevap: 70°
Alıştırma 2. Dik kenarları 5 cm ve 12 cm olan dik üçgende hipotenüs kaç cm'dir?
Çözüm
5-12-13 Pisagor üçlüsünden (ya da √(5²+12²) = √169) hipotenüs 13 cm'dir.
Cevap: 13 cm
Alıştırma 3. Kenarı 6 cm olan eşkenar üçgenin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm
Alan = (√3/4)·kenar² = (√3/4)·36 = 9√3 cm² (≈ 15,59 cm²).
Cevap: 9√3 cm²
Alıştırma 4. Kenar oranı 1:4 olan iki benzer üçgenin alan oranı kaçtır?
Çözüm
Alan oranı, kenar oranının karesidir: 1² : 4² = 1 : 16.
Cevap: 1 : 16
Alıştırma 5. Kenar uzunlukları 3 cm, 5 cm ve 9 cm olan üç çubukla bir üçgen kurulabilir mi?
Çözüm
En küçük iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalı: 3 + 5 = 8. Ama 8 < 9 olduğundan bu şart sağlanmaz.
Cevap: Hayır, üçgen kurulamaz (3+5=8<9).
Özet
- Bir üçgende iç açılar toplamı her zaman 180°'dir.
- Dış açı, komşu olmadığı iki iç açının toplamına eşittir.
- İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir; eşkenar üçgende her açı 60°'dir.
- Dik üçgende Pisagor bağıntısı geçerlidir: a² + b² = c² (c hipotenüs).
- 3-4-5, 5-12-13, 6-8-10 gibi Pisagor üçlülerini ezberlemek kök alma işini atlatır.
- 30-60-90 üçgeninde kenar oranı a : a√3 : 2a; 45-45-90 üçgeninde a : a : a√2'dir.
- Benzer üçgenlerde kenar oranı k ise, alan oranı k²'dir — kareye almayı unutma.
- Üçgenin alanı = (taban · yükseklik) / 2; eşkenar üçgende alan = (√3/4)·kenar².
- Üçgen eşitsizliği: her iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalı, farkı da üçüncü kenardan küçük olmalı.
- Kenarortaylar ağırlık merkezinde kesişir; ağırlık merkezi her kenarortayı köşeden itibaren 2:1 oranında böler.
- Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik h = (a·b)/c formülüyle bulunur.