ALES Sayısal · 3. hafta
Eşitsizlik, mutlak değer, işaret analizi
Bu konudan sınavda ortalama 4,3 soru çıkıyor (son 11 ALES).
ALES'te bu konu nasıl karşına çıkar? Denklem-Eşitsizlik-Mutlak Değer başlığı altındaki soruların büyük bölümü tam olarak burada anlattığımız konulardan geliyor: eşitsizlik çözme, aralıkta kaç tam sayı olduğunu bulma, mutlak değerli denklemler ve "a negatif, b pozitifse şu ifade kesinlikle ne olur?" tarzı işaret soruları. Sınavda genellikle 6. ile 10. sorular arasında karşına çıkıyor. İyi haber şu: bu konunun kuralları azdır, tekrar tekrar aynı kalıplar sorulur. Kuralları bir kez oturttuğun zaman bu sorular senin için en hızlı çözülen sorular haline gelir.
Eşitsizlik ne demek?
Denklemde iki taraf birbirine eşittir (=). Eşitsizlikte ise iki taraf birbirinden küçük, büyük, küçük-eşit veya büyük-eşittir. Kullandığımız semboller: ≤ (küçük eşit), ≥ (büyük eşit), < (küçük), > (büyük). Bir eşitsizliği çözmek, denklemde yaptığımız gibi x'i yalnız bırakmaya çalışmaktır — ama dikkat etmen gereken bir tuzak var, birazdan ona geleceğiz.
Kural 1 — Toplama/çıkarma yönü değiştirmez. Bir eşitsizliğin iki tarafına da aynı sayıyı eklersen ya da iki tarafından da aynı sayıyı çıkarırsan, eşitsizliğin yönü (işareti) değişmez.
Örnek: x − 4 > 6 ise, iki tarafa da 4 eklersek x > 10 olur. Yön aynı kaldı.
Kural 2 — Pozitif sayıyla çarpma/bölme yönü değiştirmez. Eşitsizliğin iki tarafını da pozitif bir sayıyla çarpar veya bölersen, yön yine değişmez.
Örnek: 2x < 10 ise iki tarafı 2'ye bölersek x < 5 olur.
Kural 3 — NEGATİF sayıyla çarpma/bölme yönü DEĞİŞTİRİR. Bu, bu konunun en kritik kuralıdır ve ALES'in en sevdiği tuzaktır: eşitsizliğin iki tarafını negatif bir sayıyla çarpar veya bölersen, yön ters döner. < işareti > olur, ≤ işareti ≥ olur.
Örnek: −2x > 6 eşitsizliğinde iki tarafı −2'ye bölelim. Sayı negatif olduğu için yön döner: x < −3. Kontrol edelim: x = −4 dersek, −2 · (−4) = 8, ve 8 > 6 doğru. x = −3 dersek −2·(−3) = 6, 6 > 6 yanlış olur, yani −3 sınıra dahil değil. Demek ki x < −3 doğruymuş.
Tuzak: Bir eşitsizlikte "−x > 5" gibi bir ifade gördüğünde hemen "x > −5" yazma refleksi çok yaygın bir hatadır. Doğrusu: iki tarafı −1 ile çarpıyorsun (ya da bölüyorsun), yön döner, sonuç x < −5 olur. Negatif katsayı gördüğün her yerde bu kuralı kontrol et.
Aralık gösterimi
Bir eşitsizliğin çözümü genelde tek bir sayı değil, bir aralıktır. Bu aralığı iki türlü yazabiliriz:
- Köşeli parantez [ ]: uç nokta aralığa dahildir (≤ veya ≥ ile ilişkilidir).
- Normal parantez ( ): uç nokta aralığa dahil değildir (< veya > ile ilişkilidir).
Kural 4 — Aralık okuma. "2 < x ≤ 5" ifadesi x'in 2'den büyük (2 hariç) ve 5'e kadar (5 dahil) olduğunu söyler; bunu (2, 5] aralığı olarak yazarız.
Örnek: "3 ≤ x < 8" aralığı [3, 8) demektir; x, 3 dahil ama 8 hariç olacak şekilde 3 ile 8 arasındadır.
Aralıktaki tam sayıları saymak
ALES çok sık şunu sorar: "Bu aralıkta kaç tane tam sayı vardır?" ya da "bu aralığın en büyük/en küçük tam sayı değeri kaçtır?" Bunun için önce eşitsizliği sadeleştirip x'i yalnız bırak, sonra sınırların aralığa dahil olup olmadığına bakarak tam sayıları tek tek say.
Kural 5 — Sayma yöntemi. Aralığı bulduktan sonra uç noktaların dahil olup olmadığına dikkat ederek tam sayıları listele; sonra say. Acele edip formülle sayarsan uç noktalarda hata yaparsın, bu yüzden ALES seviyesinde küçük aralıklarda tek tek yazmak daha güvenlidir.
Örnek: 2 < x ≤ 5 aralığındaki tam sayılar 3, 4, 5'tir; yani 3 tane tam sayı vardır.
Mutlak değer nedir?
Bir sayının mutlak değeri, o sayının sıfıra olan uzaklığıdır ve her zaman negatif olmayan bir sonuç verir. |x| şeklinde gösterilir. Örneğin |5| = 5 ve |−5| = 5'tir; çünkü hem 5 hem de −5, sıfırdan 5 birim uzaktadır.
Kural 6 — Mutlak değer tanımı. Eğer x ≥ 0 ise |x| = x; eğer x < 0 ise |x| = −x (yani sayının işaretini pozitife çeviririz).
Örnek: |7| = 7, |−3| = 3, |0| = 0.
Kural 7 — Mutlak değerli denklem çözme. k ≥ 0 olmak üzere |A| = k denklemi, A = k VEYA A = −k demektir. İki ayrı denklem kurup ikisini de çözersin.
Örnek: |x − 2| = 5 ⇒ x − 2 = 5 veya x − 2 = −5. Birinciden x = 7, ikinciden x = −3 çıkar. Yani çözüm kümesi {−3, 7}'dir.
Tuzak: |A| = k denkleminde eğer k negatif bir sayıysa (örneğin |x+1| = −4), bu denklemin hiç çözümü yoktur. Çünkü mutlak değer asla negatif bir sonuç veremez. Bu tarz sorularda "çözüm kümesi boş kümedir (∅)" seçeneğini gözden kaçırma.
İşaret analizi: "a < 0 < b ise…" tipi sorular
Bu soru tipinde sana bazı sayılar hakkında işaret bilgisi verilir (hangisi pozitif, hangisi negatif) ve senden bu bilgilerden yeni bir ifadenin işaretini (kesinlikle pozitif mi, kesinlikle negatif mi, yoksa belli değil mi) çıkarman istenir.
Kural 8 — Deneme sayılarıyla test et. Verilen koşulu sağlayan basit sayılar seç (örneğin a = −2, b = 3 gibi) ve her seçeneği bu sayılarla hesapla. Eğer bir seçenek senin seçtiğin sayılarla pozitif çıkıyorsa ama başka uygun sayılarla negatif çıkabiliyorsa, o seçenek "kesin değil" demektir. Emin olmak için en az iki farklı deneme yapmak iyi bir alışkanlıktır.
Örnek: a < 0 < b verilsin. a · b ifadesi her zaman negatiftir, çünkü negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı her zaman negatiftir — hangi sayıları seçersen seç bu değişmez.
Sıralama soruları: "a · b < 0 < a + b ise…"
Bu, işaret analizinin biraz daha ileri bir hâlidir. Burada işaretler açıkça a < 0 veya b < 0 diye verilmez; sana çarpım ve toplamın işareti verilir, sen bunlardan işaretleri çıkarmak zorunda kalırsın.
Kural 9 — Çarpım ve toplamdan işaret çıkarma. a · b < 0 demek, a ve b'nin zıt işaretli olduğu demektir (biri pozitif, biri negatif) — hangisinin pozitif hangisinin negatif olduğu belli değildir. a + b > 0 demek ise, pozitif olan sayının mutlak değerce negatif olandan daha büyük olduğu demektir (yani pozitif taraf "ağır basıyor"). Ama a ile b'den hangisinin pozitif olduğu hâlâ belli olmadığı için, a − b gibi ifadelerin işareti genelde belirsiz kalır — mutlaka iki farklı deneme yaparak kontrol et.
Tuzak: "a · b < 0 < a + b" verildiğinde çoğu öğrenci otomatik olarak "o zaman a pozitiftir, b negatiftir" diye düşünür. Oysa bu tam tersi de olabilir (a negatif, b pozitif de olabilir) — önemli olan sadece pozitif tarafın mutlak değerce daha büyük olmasıdır. Hangi harfin pozitif olduğunu varsaymadan önce mutlaka iki ihtimali de dene.
Şimdi çözümlü örneklerle pekiştirelim
1) −3x + 5 ≤ 20 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı x kaçtır? A) −6 B) −5 C) −4 D) 0 E) 5
Çözüm
−3x + 5 ≤ 20 eşitsizliğinden başlayalım. İki taraftan 5 çıkaralım: −3x ≤ 15.
Şimdi iki tarafı −3'e bölmemiz gerekiyor. Sayı negatif olduğu için (Kural 3) yön değişir: x ≥ −5.
Bu, x'in −5'ten büyük veya −5'e eşit olduğu anlamına gelir. Bu aralıktaki en küçük tam sayı, sınırın kendisi olan −5'tir.
Cevap: B) −5
2) −5 < 2x − 3 ≤ 7 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tam sayı x değeri vardır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
Çözüm
Her tarafa 3 ekleyelim: −2 < 2x ≤ 10.
Her tarafı 2'ye bölelim (2 pozitif olduğu için yön değişmez): −1 < x ≤ 5.
Bu aralıktaki tam sayıları tek tek yazalım: −1 dahil değil (çünkü < kullanılmış), ama 0, 1, 2, 3, 4, 5 hepsi dahil (5 de dahil, çünkü ≤ kullanılmış).
Sayalım: 0, 1, 2, 3, 4, 5 → toplam 6 tane tam sayı.
Cevap: C) 6
3) |2x − 3| = 7 denkleminin kökleri toplamı kaçtır? A) −3 B) 0 C) 2 D) 3 E) 5
Çözüm
Kural 7'yi uygulayalım: |2x − 3| = 7 ⇒ 2x − 3 = 7 VEYA 2x − 3 = −7.
Birinci denklem: 2x − 3 = 7 ⇒ 2x = 10 ⇒ x = 5.
İkinci denklem: 2x − 3 = −7 ⇒ 2x = −4 ⇒ x = −2.
İki kök: 5 ve −2. Toplamları: 5 + (−2) = 3.
Cevap: D) 3
4) a < 0 < b ve |a| > b olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle negatiftir? A) b B) −a C) a² D) b − a E) a + b
Çözüm
Deneme sayıları seçelim: a = −5, b = 3. Koşulu kontrol edelim: a < 0 < b sağlanıyor (−5 < 0 < 3), ve |a| = 5, b = 3 olduğu için |a| > b de sağlanıyor.
Şimdi seçenekleri tek tek hesaplayalım: A) b = 3 (pozitif). B) −a = −(−5) = 5 (pozitif). C) a² = 25 (pozitif). D) b − a = 3 − (−5) = 8 (pozitif). E) a + b = −5 + 3 = −2 (negatif!).
Bunu genel olarak da görebiliriz: |a| > b demek, a'nın mutlak değeri b'den büyük demektir; yani −a > b, buradan a + b < 0 çıkar. Bu, seçtiğimiz sayılardan bağımsız olarak her zaman doğrudur. Başka bir deneme daha yapalım: a = −10, b = 1 → a + b = −9, yine negatif. Diğer seçenekler ise (b, −a, a², b−a) bu koşullar altında hep pozitif çıkar, çünkü b zaten pozitif, −a da pozitif (a negatif olduğu için), a² her zaman negatif olmayandır, ve b − a = pozitif − negatif her zaman pozitiftir.
Cevap: E) a + b
5) a ve b gerçek sayılardır. a · b < 0 < a + b olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin işareti (pozitif mi negatif mi olduğu) kesin olarak belirlenemez? A) a + b B) a − b C) a · b D) a² E) b²
Çözüm
Önce koşulu sağlayan iki farklı durum kuralım. Durum 1: a = 3, b = −1. Kontrol: a·b = −3 < 0 ✓, a+b = 2 > 0 ✓. Durum 2: a = −1, b = 3. Kontrol: a·b = −3 < 0 ✓, a+b = 2 > 0 ✓. İkisi de soru koşulunu sağlıyor.
Şimdi seçenekleri iki durumda da hesaplayalım:
A) a + b: Durum 1'de 2, Durum 2'de 2. İkisinde de pozitif — zaten soruda verilmiş, değişmiyor.
C) a · b: Durum 1'de −3, Durum 2'de −3. İkisinde de negatif — zaten verilmiş.
D) a²: Durum 1'de 9, Durum 2'de 1. İkisinde de pozitif (kareler her zaman negatif olmayandır, ve a·b≠0 olduğu için a≠0).
E) b²: Durum 1'de 1, Durum 2'de 9. İkisinde de pozitif, aynı sebeple.
B) a − b: Durum 1'de 3 − (−1) = 4 (pozitif). Durum 2'de −1 − 3 = −4 (negatif). İşte burada işaret değişti! Yani a − b'nin işareti, a ile b'den hangisinin pozitif olduğuna bağlı — soru bunu bize söylemiyor. Demek ki kesin olarak belirlenemeyen ifade budur.
Cevap: B) a − b
Kendini dene
−3 < x ≤ 4 koşulunu sağlayan kaç tam sayı vardır?
Cevap
−3 dahil değil, 4 dahil: −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4. Toplam 7 tam sayı. Kısa yol: 4 − (−2) + 1 = 7.
|x − 3| = 5 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevap
Mutlak değerin içi 5 ya da −5 olabilir: x − 3 = 5 ise x = 8, x − 3 = −5 ise x = −2. Toplam: 8 + (−2) = 6.
|2x − 1| < 5 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?
Cevap
Eşitsizliği aç: −5 < 2x − 1 < 5. Her tarafa 1 ekle: −4 < 2x < 6. İkiye böl: −2 < x < 3. Tam sayılar −1, 0, 1, 2: toplam 4 tane.
a < 0 < b olduğuna göre a · b, a − b ve b − a ifadelerinden hangileri kesinlikle negatiftir?
Cevap
Negatif × pozitif = negatif, yani a · b < 0. a − b: negatiften pozitif çıkınca daha da negatif olur, a − b < 0. b − a: pozitiften negatif çıkarmak toplamak demektir, b − a > 0. Kesin negatif olanlar: a · b ve a − b.
2x − 3 > x + 1 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı kaçtır?
Cevap
x'leri sola topla: 2x − x > 1 + 3, yani x > 4. 4 dahil olmadığı için en küçük tam sayı 5'tir.
x bir gerçek sayı olmak üzere |x| + |x − 2| ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevap
Sayı doğrusunda |x| x'in 0'a, |x − 2| ise 2'ye uzaklığıdır. x, 0 ile 2 arasında olduğunda iki uzaklığın toplamı tam 2 olur; dışarı çıkınca büyür. En küçük değer 2'dir.
Özet
- Eşitsizliğin iki tarafını negatif bir sayıyla çarpınca veya bölünce yön (işaret) mutlaka değişir; pozitif sayıyla çarpınca/bölünce değişmez.
- Aralık gösteriminde köşeli parantez [ ] uç noktayı dahil eder, normal parantez ( ) uç noktayı dahil etmez; bu ≤/≥ ile </> ayrımına karşılık gelir.
- Aralıktaki tam sayıları sayarken uç noktaların dahil olup olmadığına dikkat ederek tek tek listele, formülle aceleye getirme.
- Mutlak değer, bir sayının sıfıra uzaklığıdır ve her zaman negatif olmayan bir sonuç verir: x≥0 ise |x|=x, x<0 ise |x|=−x.
- |A| = k (k≥0) denklemi A = k veya A = −k demektir; k negatifse çözüm kümesi boştur (∅).
- İşaret analizi sorularında koşulu sağlayan basit sayılar seçip her seçeneği hesapla; sonucun her zaman aynı çıkıp çıkmadığını görmek için en az iki farklı deneme yap.
- "a·b < 0 < a+b" gibi verilerde, hangi değişkenin pozitif hangisinin negatif olduğu genelde belli olmaz; sadece pozitif tarafın mutlak değerce daha büyük olduğunu biliriz.
- Bir ifadenin işareti farklı denemelerde değişiyorsa, o ifade "kesin olarak belirlenemez" demektir — bu da ALES'te doğru cevap olabilir.