ALES Sayısal · 3. hafta
Denklemler ve denklem sistemleri
Bu konudan sınavda ortalama 4,3 soru çıkıyor (son 11 ALES).
ALES'te bu konu nasıl karşına çıkar? Denklem – eşitsizlik – mutlak değer konu grubu, bir ALES Sayısal oturumunda ortalama 3-4 soru ile temsil edilir ve genellikle sınavın 6. ile 10. sorular arasında yer alır. Yani testin en başındaki "ısınma" sorularının hemen ardında karşına çıkacak bir konu bu. Tipik soru kalıpları şöyledir:
- "Bir sayının ... katının ... fazlası ... eşittir" gibi sözel bir ifadeyi denkleme çevirip bilinmeyeni bulman istenir.
- İki bilinmeyenli (bazen üç bilinmeyenli) bir denklem sistemi verilir; senden x, y (veya x+y, x·y gibi bir ifadenin değerini) bulman beklenir.
- Yaş problemleri, sayı problemleri, iki kap/iki kişi arasındaki ilişkiler gibi günlük hayat senaryoları denklem kurma becerisini test eder.
Bu derste amacımız şu: önce birinci dereceden bir denklemi rahatça çözebilmek, sonra iki (hatta üç) bilinmeyenli sistemleri iki farklı yöntemle (yok etme ve yerine koyma) çözmeyi öğrenmek, en sonunda da sözel bir cümleyi denkleme çevirme becerisini kazanmak.
1. Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir?
Denklem, içinde bilinmeyen (genelde x ile gösterilen) bulunan ve iki tarafı birbirine eşit olan bir ifadedir. "Birinci derece" demek, bilinmeyenin üssünün 1 olması demektir; yani x², x³ gibi terimler yok, sadece x var. Amacımız her zaman aynı: bilinmeyeni yalnız bırakmak.
Bunu yaparken elimizdeki tek altın kural şu: terazi mantığı. Bir denklem, iki kefesi dengede duran bir teraziye benzer. Bir tarafa ne yaparsan (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) diğer tarafa da aynısını yapmak zorundasın; yoksa denge bozulur, eşitlik artık doğru olmaz.
Kural — Denklem çözmenin temel adımları:
- Parantez varsa önce parantezleri aç (dağıtma / distribütif özellik).
- Bilinmeyenli terimleri eşitliğin bir tarafına, sayısal (bilinmeyensiz) terimleri diğer tarafına topla. Bir terimi eşitliğin diğer tarafına geçirirken işareti değişir (+ ise −, − ise + olur).
- Son olarak bilinmeyenin katsayısına bölerek x'i yalnız bırak.
Mini örnek: 2x + 3 = 11 → 2x = 11 − 3 = 8 → x = 8 ÷ 2 = 4.
Şimdi biraz daha karmaşık, parantezli bir denkleme bakalım. Burada dikkat edeceğin şey, parantezin önünde eksi işareti varsa, parantez içindeki her terimin işaretinin değişmesi gerektiği.
Kural — Parantez açma (dağıtma):
- a(b + c) = a·b + a·c
- −(b + c) = −b − c (parantezin önünde "eksi" varsa içerideki her terimin işareti döner)
Mini örnek: 3(x − 2) = 3x − 6. Ama −(x − 2) = −x + 2 olur, dikkat!
2. İki bilinmeyenli denklem sistemleri
Bazen bir tek denklem bilinmeyeni bulmaya yetmez; çünkü elimizde iki farklı bilinmeyen (mesela x ve y) vardır. Böyle durumlarda, x ve y'yi tek başına belirleyebilmek için iki ayrı denkleme ihtiyacımız olur. Bu ikili denkleme "denklem sistemi" denir. ALES'te bu sistemleri çözmek için iki yöntem kullanacağız: yok etme (toplama-çıkarma) yöntemi ve yerine koyma yöntemi.
Kural — Yok etme (toplama-çıkarma) yöntemi:
- İki denklemi alt alta yaz.
- Bilinmeyenlerden birinin katsayılarını eşit (veya birbirinin ters işaretlisi) yapmak için denklemleri uygun bir sayıyla çarp.
- Denklemleri taraf tarafa topla veya çıkar; bir bilinmeyen yok olsun.
- Kalan tek bilinmeyenli denklemi çöz, sonra bulduğun değeri denklemlerden birine yerleştirip diğer bilinmeyeni de bul.
Mini örnek: x + y = 7 ve x − y = 3 verilsin. İki denklemi taraf tarafa toplarsak y'ler yok olur: 2x = 10 → x = 5. Bunu x + y = 7'de yerine koyarsak y = 2 bulunur.
Kural — Yerine koyma yöntemi:
- Denklemlerden birinde bir bilinmeyeni diğeri cinsinden yalnız bırak (örneğin y = ... şeklinde).
- Bu ifadeyi diğer denklemdeki y'nin yerine yaz. Artık tek bilinmeyenli bir denklemin var.
- Bu denklemi çöz, sonra bulduğun değeri y = ... ifadesinde yerine koyarak diğer bilinmeyeni bul.
Mini örnek: y = x + 2 ve 2x + y = 11 verilsin. y yerine (x + 2) yazarsak: 2x + (x + 2) = 11 → 3x + 2 = 11 → 3x = 9 → x = 3. Sonra y = 3 + 2 = 5 bulunur.
Peki hangi yöntemi ne zaman kullanmalısın? Eğer denklemlerden birinde bir bilinmeyen zaten yalnız bırakılmışsa (y = ... gibi) veya kolayca yalnız bırakılabiliyorsa, yerine koyma daha hızlıdır. Katsayılar birbirine yakınsa ya da denklemler zaten benzer bir düzendeyse yok etme yöntemi daha pratiktir. İkisi de aynı sonucu verir; ALES'te seni rahatlatan yöntemi seçmen yeterli.
3. Üç bilinmeyenli sistemler
ALES'te bazen x, y, z gibi üç bilinmeyenli bir sistem de karşına çıkabilir. Mantık aynıdır: üç denklemi kullanarak bilinmeyenleri teker teker yok edip azaltırsın. Genelde stratejin şu olmalı: önce iki denklemi kullanıp bir bilinmeyeni yok et, sonra başka bir çift denklemi kullanıp aynı bilinmeyeni tekrar yok et. Elinde iki bilinmeyenli iki denklem kalır, onu da öğrendiğin yöntemlerle çözersin.
Kural — Üç bilinmeyenli sistemde strateji:
- Üç denklemden ikisini birleştirerek bir bilinmeyeni (mesela z'yi) yok et.
- Farklı bir ikiliyi birleştirerek aynı bilinmeyeni (z'yi) yine yok et.
- Artık elinde x ve y içeren iki denklem var; bunu normal bir iki bilinmeyenli sistem gibi çöz.
- Bulduğun x ve y değerlerini denklemlerden birine koyup z'yi de bul.
4. Sözel ifadeyi denkleme çevirme
ALES'in en çok puan kaybettiren kısmı burasıdır — çünkü matematik değil, okuma-anlama becerisi devreye girer. Cümledeki anahtar kelimeleri denklem diline çevirmeyi öğrenmen gerekir.
| Sözel ifade | Denklem karşılığı |
|---|---|
| Bir sayının 3 katı | 3x |
| Bir sayının 5 fazlası | x + 5 |
| Bir sayının 4 eksiği | x − 4 |
| Bir sayının 2 katının 7 fazlası | 2x + 7 |
| İki sayının toplamı | x + y |
| İki sayının farkı | x − y |
| ... ile eşittir / ... kadardır | = |
Kural — Sözel problemde adımlar:
- Bilinmeyeni (veya bilinmeyenleri) net biçimde tanımla: "Küçük sayı x, büyük sayı y olsun" gibi.
- Cümledeki her ifadeyi tek tek denkleme çevir; "toplamı", "farkı", "fazlası", "eksiği", "katı" gibi kelimelere dikkat et.
- Kurduğun denklem(ler)i öğrendiğin yöntemlerle çöz.
- Bulduğun sonucu sorunun sorduğu şeye göre yorumla — bazen x'i değil, x+y veya x·y gibi bir ifadeyi sorabilirler!
Çözümlü örnekler
1. 3x + 5 = 20 denklemine göre x kaçtır?
A) 3 B) 5 C) 15 D) 25/3 E) −5
Çözüm
Önce sayısal terimi diğer tarafa geçirelim; işaret değişir:
3x = 20 − 5 = 15
Şimdi her iki tarafı da 3'e bölelim:
x = 15 ÷ 3 = 5
Cevap: B) 5
2. 2(x − 3) + 4 = 3x − 1 denklemine göre x kaçtır?
A) −11 B) −3 C) −1 D) 2 E) 11
Çözüm
Önce parantezi açalım: 2(x − 3) = 2x − 6.
Denklem şu hale gelir: 2x − 6 + 4 = 3x − 1, yani 2x − 2 = 3x − 1.
Bilinmeyenleri sol tarafta, sayıları sağ tarafta toplayalım. 2x'i sağa geçirirsek: −2 = 3x − 2x − 1 = x − 1.
Şimdi −1'i sola geçirelim: −2 + 1 = x, yani x = −1.
Cevap: C) −1
3. 2x + 3y = 12 ve x − y = 1 denklem sistemine göre x + y toplamı kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7
Çözüm
İkinci denklemden x = y + 1 olduğunu görüyoruz (yerine koyma için hazır).
Bunu birinci denklemde yerine koyalım: 2(y + 1) + 3y = 12 → 2y + 2 + 3y = 12 → 5y = 10 → y = 2.
x = y + 1 = 2 + 1 = 3 bulunur.
Soru x + y'yi sorduğu için: x + y = 3 + 2 = 5.
Cevap: D) 5
4. y = 2x + 1 ve 3x + 2y = 16 denklem sistemine göre x·y çarpımı kaçtır?
A) 3 B) 7 C) 10 D) 12 E) 16
Çözüm
İlk denklemde y zaten x cinsinden yalnız bırakılmış; doğrudan yerine koyma yapabiliriz.
y yerine (2x + 1) yazalım: 3x + 2(2x + 1) = 16 → 3x + 4x + 2 = 16 → 7x = 14 → x = 2.
y = 2x + 1 = 2·2 + 1 = 5 bulunur.
Soru x·y'yi sorduğu için: x·y = 2 · 5 = 10.
Cevap: C) 10
5. İki sayının toplamı 45, farkı 9'dur. Buna göre büyük sayı kaçtır?
A) 9 B) 18 C) 22,5 D) 27 E) 36
Çözüm
Büyük sayıya x, küçük sayıya y diyelim. Cümleyi denkleme çevirelim: x + y = 45 ve x − y = 9.
İki denklemi taraf tarafa toplayalım; y'ler yok olur: 2x = 54 → x = 27.
(İstenirse y de bulunabilir: y = 45 − 27 = 18, kontrol: 27 − 18 = 9 ✓.)
Cevap: D) 27
6. x + y + z = 12, x − y = 2 ve y + z = 9 denklem sistemine göre x + z toplamı kaçtır?
A) 4 B) 8 C) 9 D) 11 E) 12
Çözüm
Üçüncü denklemden y + z = 9 olduğunu biliyoruz. Bunu birinci denklemde kullanalım: x + (y + z) = 12 → x + 9 = 12 → x = 3.
x − y = 2 olduğundan y = x − 2 = 3 − 2 = 1.
y + z = 9 olduğundan z = 9 − y = 9 − 1 = 8.
Soru x + z'yi sorduğu için: x + z = 3 + 8 = 11.
Cevap: D) 11
7. Ayşe'nin yaşı, Mehmet'in yaşının 2 katının 3 eksiğine eşittir. İkisinin yaşları toplamı 45 olduğuna göre Ayşe kaç yaşındadır?
A) 16 B) 22,5 C) 26 D) 29 E) 31
Çözüm
Mehmet'in yaşına m, Ayşe'nin yaşına a diyelim. Cümleyi denkleme çevirelim: "2 katının 3 eksiği" ifadesi a = 2m − 3 demektir. Ayrıca a + m = 45.
Yerine koyma yapalım: (2m − 3) + m = 45 → 3m − 3 = 45 → 3m = 48 → m = 16.
a = 2m − 3 = 2·16 − 3 = 32 − 3 = 29 bulunur.
Kontrol: a + m = 29 + 16 = 45 ✓.
Cevap: D) 29
Sık düşülen tuzaklar
Tuzak 1 — Parantez önündeki eksi işareti. −(x − 5) ifadesini −x − 5 diye açmak çok sık yapılan bir hatadır. Doğrusu: parantez önünde eksi varsa içerideki her terimin işareti döner, yani −(x − 5) = −x + 5 olur. Parantezi açtıktan sonra mutlaka bir kez daha kontrol et.
Tuzak 2 — Soru x'i değil, başka bir ifadeyi soruyor olabilir. Denklem sistemini doğru çözüp x ve y'yi bulmak yetmez; sorunun tam olarak neyi sorduğuna bak. Bazen x + y, bazen x − y, bazen de x·y istenir. Çözümü bitirdiğinde soruya geri dön ve "gerçekten bunu mu istiyordu?" diye kontrol et — aksi hâlde doğru çözüp yanlış şıkkı işaretlersin.
Tuzak 3 — Bir terimi karşı tarafa geçirirken işaret unutmak. "Terimi eşitliğin diğer tarafına at, işareti aynı kalsın" diye düşünmek yanlıştır. 3x = 20 − 5 gibi bir adımda −5, +5'ten gelmiştir; işaret mutlaka değişir. Aceleyle çözüm yaparken bu adımı atlamak, sınavda en çok puan kaybettiren hatalardan biridir.
Kendini dene
3x − 7 = 2x + 5 denkleminde x kaçtır?
Cevap
x'li terimleri sola, sayıları sağa topla: 3x − 2x = 5 + 7, yani x = 12.
x + y = 17 ve x − y = 5 ise x · y kaçtır?
Cevap
İki denklemi taraf tarafa topla: 2x = 22, x = 11. Birinciye koy: y = 17 − 11 = 6. Çarpım: 11 · 6 = 66.
Bir sayının 3 katının 4 eksiği, aynı sayının 2 katının 6 fazlasına eşittir. Bu sayı kaçtır?
Cevap
Sayıya x de: 3x − 4 = 2x + 6. Buradan x = 10. Kontrol: 3·10 − 4 = 26 ve 2·10 + 6 = 26.
x/2 + x/3 = 10 ise x kaçtır?
Cevap
Paydaları 6'da eşitle: 3x/6 + 2x/6 = 5x/6 = 10. İki tarafı 6 ile çarp: 5x = 60, x = 12.
a + b = 10, b + c = 14 ve a + c = 12 ise c kaçtır?
Cevap
Üç denklemi topla: 2(a + b + c) = 36, yani a + b + c = 18. Bundan a + b = 10'u çıkar: c = 8.
2x + 3y = 12 ve x − y = 1 ise x + y kaçtır?
Cevap
İkinciden x = y + 1. Birinciye koy: 2(y + 1) + 3y = 12, 5y = 10, y = 2. O hâlde x = 3 ve x + y = 5.
Özet
- Denklem çözerken terazi mantığını kullan: bir tarafa yaptığın işlemi diğer tarafa da yap.
- Bir terimi eşitliğin diğer tarafına geçirirken işareti mutlaka değiştir.
- Parantez önünde eksi işareti varsa, içerideki her terimin işareti döner.
- İki bilinmeyenli sistemlerde yok etme yöntemi: denklemleri toplayıp/çıkararak bir bilinmeyeni yok et.
- Yerine koyma yöntemi: bir bilinmeyeni diğeri cinsinden yazıp diğer denklemde yerine koy.
- Üç bilinmeyenli sistemlerde önce bir bilinmeyeni iki farklı denklem çiftiyle yok ederek problemi iki bilinmeyene indir.
- Sözel bir problemde önce bilinmeyenleri tanımla, sonra cümleyi cümle cümle denkleme çevir.
- Çözümü bitirince mutlaka soruya geri dön: senden x mi, x+y mi, yoksa x·y mi isteniyor kontrol et.