ALES Sayısal · 7. hafta
Hareket, işçi-havuz, temel olasılık
Bu konudan sınavda ortalama 3,2 soru çıkıyor (son 11 ALES).
ALES'te bu konu nasıl çıkar? Hareket problemleri sınav başına ortalama 1 soru ile, genellikle testin 17-19. soruları civarında; işçi-havuz, permütasyon-kombinasyon ve olasılık ise birlikte ortalama 1,5 soru ile 22-24. sorular civarında karşına çıkar. Bu bölümde derinlemesine olasılık teorisi gerekmez — ALES sadece saymanın temel ilkesi, basit permütasyon/kombinasyon ve klasik olasılık tanımını sorar. Amacımız, karmaşık formüllere boğulmadan bu sorulara hızlı ve güvenilir çözüm üretmek.
1. Hareket problemleri: yol = hız × zaman
Temel bağıntı: Yol = Hız · Zaman, kısaca y = h · t.
Buradan zaman = yol / hız, hız = yol / zaman şeklinde de yazılabilir.
Bu tek formülden, iki cismin farklı yönlerde ya da aynı yönde hareket ettiği durumlar için iki önemli sonuç çıkar:
Karşılıklı hareket (birbirine doğru): İki cisim birbirine doğru hareket ederse, aralarındaki mesafe, iki hızın toplamı kadar hızla kapanır. Buluşma süresi = Başlangıç mesafesi / (h₁ + h₂).
Aynı yönde hareket (kovalama/uzaklaşma): İki cisim aynı yönde hareket ederse, aralarındaki mesafe, iki hızın farkı kadar hızla değişir. Süre = İstenen mesafe farkı / (h₁ − h₂).
Mini örnek: 240 km arayla duran iki araç birbirine doğru 50 km/s ve 30 km/s hızla hareket ederse, aralarındaki mesafe saatte 80 km azalır; 240/80 = 3 saatte buluşurlar.
2. Dairesel pist hareketleri
Dairesel pistte iki koşucu/araç aynı noktadan aynı anda, aynı yönde hareket ederse, hızlı olan yavaş olanı "bir tur farkı" attığında yakalar; yani aralarındaki fark, pistin tüm çevre uzunluğuna ulaşmalıdır.
Aynı yönde dairesel harekette yakalama süresi = Pist çevresi / (h₁ − h₂) (h₁ > h₂ varsayılır).
Zıt yönde hareket edip ilk karşılaşma isteniyorsa: Süre = Pist çevresi / (h₁ + h₂).
3. Ortalama hız
Ortalama hızla ilgili en sık yapılan hata, iki farklı hızın aritmetik ortalamasını almaktır. Ancak aynı yol iki farklı hızla gidilip geliniyorsa (gidiş-dönüş gibi), doğru yöntem harmonik ortalamadır.
Aynı uzunluktaki bir yol, gidişte h₁ hızıyla, dönüşte h₂ hızıyla alınıyorsa, tüm yolculuğun ortalama hızı:
Ortalama hız = 2 · h₁ · h₂h₁ + h₂
Tuzak 1 — Ortalama hızı aritmetik ortalama sanmak: Gidişte 60 km/s, dönüşte 40 km/s hızla gidilen bir yolun ortalama hızı (60+40)/2 = 50 değildir! Aynı yolda dönüşte daha uzun süre harcandığı için düşük hız ortalamayı daha çok etkiler; doğru sonuç 48'dir (aşağıdaki örnekte gösteriliyor). Bu formül sadece "aynı mesafe, iki farklı hız" durumunda geçerlidir; "aynı süre, iki farklı hız" durumunda gerçekten aritmetik ortalama kullanılır — bu ayrımı sorudan çıkarmak gerekir.
4. İşçi-havuz problemleri
Bu problemlerin sırrı, "kim, birim zamanda işin ne kadarını yapıyor" sorusuna cevap vermektir.
Bir iş X saatte bitiyorsa, birim zamanda (1 saatte) yapılan iş 1X kadardır.
Birlikte çalışan iki işçi/musluk için: birim zamanda yapılan iş oranları toplanır. Toplam süre bulmak için bu toplamın tersi alınır.
Mini örnek: Bir işi tek başına 4 saatte bitiren biri, saatte işin 1/4'ünü yapar. Bir başkası aynı işi 4 saatte değil 12 saatte bitiriyorsa saatte 1/12'sini yapar. Birlikte saatte 1/4 + 1/12 = 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3'ünü yaparlar; demek ki işi birlikte 3 saatte bitirirler.
5. Saymanın temel ilkesi, permütasyon, kombinasyon
Saymanın temel ilkesi: Birbirini takip eden bağımsız seçimlerde, toplam seçenek sayısı, her adımdaki seçenek sayılarının çarpımıdır.
Permütasyon (sıra önemli): n farklı elemandan r tanesini sıralı şekilde seçmenin yol sayısı.
Kombinasyon (sıra önemsiz): n farklı elemandan r tanesini, sırasız bir grup olarak seçmenin yol sayısı. Örneğin bir komisyon, kurul ya da takım seçimi kombinasyondur; kimin "birinci" kimin "ikinci" seçildiği önemli değilse kombinasyon kullanılır.
Tuzak 2 — Permütasyon mu kombinasyon mu? "3 kişilik bir yönetim kurulu (başkan, sekreter, sayman gibi görevlerle) seçilecek" dendiğinde sıra/görev önemlidir → permütasyon. "3 kişilik bir komisyon (herkes eşit) seçilecek" dendiğinde sıra önemsizdir → kombinasyon. Soru cümlesinde bir görev/sıra ayrımı var mı yok mu, mutlaka kontrol et.
6. Basit olasılık
Klasik olasılık tanımı: Olasılık = İstenen durum sayısıTüm olası durum sayısı
Bir olayın gerçekleşmeme olasılığı = 1 − (gerçekleşme olasılığı).
Çözümlü Örnekler
A ve B araçları aynı noktadan aynı anda, aynı yönde hareket etmeye başlıyor. A aracının hızı 80 km/s, B aracının hızı 60 km/s'dir. Kaç saat sonra aralarındaki mesafe 100 km olur?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
Çözüm
Aynı yönde hareket ettikleri için aradaki mesafe, hız farkı kadar hızla açılır: 80 − 60 = 20 km/s.
100 km farkın oluşması için gereken süre: 100 / 20 = 5 saat.
Cevap: C) 5
İki şehir arası uzaklık 300 km'dir. Bu şehirlerden aynı anda birbirine doğru hareket eden iki araçtan biri 60 km/s, diğeri 40 km/s hızla gitmektedir. Kaç saat sonra karşılaşırlar?
A) 2 B) 2,5 C) 3 D) 3,5 E) 4
Çözüm
Birbirine doğru hareket ettikleri için aradaki mesafe, hızların toplamı kadar hızla kapanır: 60 + 40 = 100 km/s.
Buluşma süresi: 300 / 100 = 3 saat.
Cevap: C) 3
Çevresi 800 m olan dairesel bir pistte A ve B aynı noktadan aynı anda, aynı yönde koşmaya başlıyor. A'nın hızı 20 m/s, B'nin hızı 12 m/s'dir. A, B'yi kaç saniye sonra ilk kez tur farkıyla geçer (yani ilk kez tekrar yan yana gelirler)?
A) 80 B) 90 C) 100 D) 110 E) 120
Çözüm
Aynı yönde koştukları için aradaki mesafe farkı, hız farkı kadar hızla açılır: 20 − 12 = 8 m/s.
A'nın B'yi "bir tur farkıyla" geçmesi için aradaki farkın tam pist çevresi kadar (800 m) olması gerekir.
Gereken süre: 800 / 8 = 100 saniye.
Cevap: C) 100
Bir araç, aynı yolu gidişte 60 km/s, dönüşte 40 km/s ortalama hızla almaktadır. Aracın tüm yolculuk boyunca (gidiş-dönüş) ortalama hızı kaç km/s'dir?
A) 45 B) 48 C) 50 D) 52 E) 55
Çözüm
Aynı yol iki farklı hızla alındığı için harmonik ortalama formülü kullanılır:
Ortalama hız = (2 · 60 · 40) / (60 + 40) = 4800 / 100 = 48 km/s.
Not: Bu değer 60 ile 40'ın aritmetik ortalaması olan 50'den küçüktür; çünkü dönüşte (düşük hızda) daha uzun zaman geçirilmiştir.
Cevap: B) 48
Bir havuzu A musluğu tek başına açıldığında 6 saatte, B musluğu tek başına açıldığında 3 saatte doldurabiliyor. İki musluk birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?
A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 3
Çözüm
A musluğu saatte havuzun 1/6'sını, B musluğu saatte 1/3'ünü doldurur.
Birlikte saatte doldurdukları kısım: 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2.
Saatte havuzun yarısı doluyorsa, tamamı 2 saatte dolar.
Cevap: C) 2
Bir torbada 4 kırmızı, 5 mavi ve 3 yeşil top vardır. Torbadan rastgele çekilen bir topun mavi olmama olasılığı kaçtır?
A) 5/12 B) 7/12 C) 1/3 D) 1/4 E) 2/3
Çözüm
Toplam top sayısı: 4 + 5 + 3 = 12. Mavi top sayısı 5 olduğundan P(mavi) = 5/12.
Mavi olmama olasılığı = 1 − P(mavi) = 1 − 5/12 = 7/12.
Kontrol: mavi olmayan toplar 4 kırmızı + 3 yeşil = 7 tanedir; 7/12 doğrudan da bulunabilir.
Cevap: B) 7/12
5 kişilik bir öğretmen grubundan, görev ayrımı olmayan 2 kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde seçilebilir?
A) 8 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25
Çözüm
Komisyonda görev ayrımı (başkan-üye gibi) olmadığından bu bir kombinasyon sorusudur: sıra önemsizdir.
C(5,2) = (5 · 4) / (2 · 1) = 20 / 2 = 10.
Cevap: B) 10
7. Hız birimlerini dönüştürme
Sıfırdan başlıyorsan önce hız birimlerini netleştirelim: ALES sorularında hız çoğu zaman km/s (kilometre/saat) verilir, ama bazen m/s (metre/saniye) cinsinden ifade edilir ya da sorulur. Birimler karışırsa işlem tamamen yanlış çıkar.
Birim dönüşümü: 1 km = 1000 m, 1 saat = 3600 saniye olduğundan:
km/s → m/s: hızı 3,6'ya böl. m/s → km/s: hızı 3,6 ile çarp.
Mini örnek: 36 km/s hız, m/s cinsinden 36/3,6 = 10 m/s'dir. Tersine, 15 m/s hız, km/s cinsinden 15×3,6 = 54 km/s'dir.
8. Hareket problemleri — adım adım çözüm şablonu
Adım adım çözüm şablonu:
- Sorudaki verileri bir tabloya (her cisim için hız, zaman, yol) yaz; hangi büyüklüğün bilinmediğini belirle.
- Gerekiyorsa tüm hızları/uzunlukları aynı birime çevir.
- Cisimlerin birbirine göre yönünü belirle: karşılıklı mı (hızlar toplanır), aynı yönde mi (hızlar çıkarılır)?
- y = h·t bağıntısını (ya da toplam/fark hâlini) kurup denklemi çöz.
- Bulduğun sonucu, sorunun verdiği mesafe/süre bilgisiyle geriye doğru kontrol et.
9. Musluk boşaltma problemleri (dolum eksi boşaltım)
İşçi-havuz problemlerinin bir çeşidinde, bir musluk havuzu doldururken başka bir musluk (ya da delik) aynı anda havuzu boşaltır. Bu durumda iki oran toplanmaz, birbirinden çıkarılır.
Dolduran musluğun birim zamandaki iş oranından, boşaltan musluğun birim zamandaki iş oranı çıkarılarak net doluş oranı bulunur:
Net oran = 1dolum süresi − 1boşaltım süresi
Toplam süre, bu net oranın tersidir. Net oran negatif ya da sıfır çıkarsa havuz hiç dolmaz.
Mini örnek: Dolduran musluk havuzu 6 saatte dolduruyor, boşaltan musluk 12 saatte boşaltıyorsa net oran 1/6 − 1/12 = 2/12 − 1/12 = 1/12'dir; havuz 12 saatte dolar.
10. Faktöriyel ve permütasyon-kombinasyon formülleri
Saymanın temel ilkesini gördün; şimdi bunun kısayolu olan formülleri tanıyalım.
Faktöriyel: n! = n×(n−1)×(n−2)×…×2×1 (n pozitif tam sayı). Örneğin 4! = 4×3×2×1 = 24.
Permütasyon: n farklı elemandan r tanesini sıralı seçmenin yolu: P(n,r) = n!(n−r)!
Kombinasyon: n farklı elemandan r tanesini sırasız seçmenin yolu: C(n,r) = n!r!(n−r)!
Mini örnek: P(5,2) = 5!/(5−2)! = 5!/3! = (5×4×3×2×1)/(3×2×1) = 5×4 = 20. C(5,2) = 5!/(2!×3!) = 20/2 = 10.
Tuzak 3 — Dolum ve boşaltım oranını toplamak: Bir musluk doldururken diğeri boşaltıyorsa oranları toplamak büyük bir hatadır; bu, havuzun olduğundan çok daha hızlı dolduğu izlenimi verir. Doğrusu her zaman dolum oranından boşaltım oranını çıkarmaktır. Ayrıca sonuç negatifse ("boşaltım, dolumdan hızlıysa") havuzun asla dolmayacağını unutma.
Yeni çözümlü örnekler
Bir tren 108 km/s hızla gitmektedir. Bu hız m/s cinsinden kaçtır?
A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40
Çözüm
km/s'yi m/s'ye çevirmek için 3,6'ya böleriz: 108 / 3,6 = 30 m/s.
Cevap: C) 30
Bir havuzu dolduran musluk 4 saatte, boşaltan musluk ise 6 saatte havuzu tek başına boşaltabilmektedir. Havuz boşken iki musluk birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?
A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16
Çözüm
Dolum oranı 1/4, boşaltım oranı 1/6'dır. Net oran = 1/4 − 1/6 = 3/12 − 2/12 = 1/12.
Saatte havuzun 1/12'si dolduğuna göre tamamı 12 saatte dolar.
Cevap: C) 12
6 kişilik bir gruptan başkan ve yardımcısı (iki farklı görev) kaç farklı şekilde seçilebilir?
A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 36
Çözüm
Görevler farklı olduğundan (başkan ≠ yardımcı) sıra önemlidir; bu bir permütasyon sorusudur.
P(6,2) = 6!/(6−2)! = 6×5 = 30.
Cevap: D) 30
Kendini dene
72 km/s hız, m/s cinsinden kaçtır?
Çözüm
72 / 3,6 = 20 m/s.
Cevap: 20 m/s
Bir havuzu dolduran musluk 5 saatte dolduruyor, boşaltan musluk 10 saatte boşaltıyor. Birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?
Çözüm
Net oran = 1/5 − 1/10 = 2/10 − 1/10 = 1/10. Havuz 10 saatte dolar.
Cevap: 10 saat
4 kişilik bir gruptan sıralı olarak ilk iki kişi (1.'lik ve 2.'lik) kaç farklı şekilde seçilir?
Çözüm
Sıra önemli olduğundan permütasyon: P(4,2) = 4×3 = 12.
Cevap: 12
Bir torbada 3 kırmızı, 2 mavi top vardır. Torbadan rastgele çekilen bir topun kırmızı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
Toplam top 3+2=5. P(kırmızı) = 3/5.
Cevap: 3/5
Bir araç 150 km'lik yolu 3 saatte almaktadır. Aracın ortalama hızı kaç km/s'dir?
Çözüm
Hız = yol/zaman = 150/3 = 50 km/s.
Cevap: 50 km/s
Özet
- Temel bağıntı: yol = hız × zaman. Karşılıklı harekette hızlar toplanır, aynı yönde harekette hızlar çıkarılır.
- Hız birimlerini dönüştürürken km/s'yi 3,6'ya böl (m/s'ye geç), m/s'yi 3,6 ile çarp (km/s'ye geç).
- Dairesel pistte aynı yönde "yakalama", aradaki farkın tam bir tur (çevre uzunluğu) olmasıyla gerçekleşir.
- Aynı yolun iki farklı hızla gidilip gelinmesinde ortalama hız, aritmetik değil harmonik ortalamadır: 2h₁h₂/(h₁+h₂).
- İşçi-havuz sorularında herkesin "birim zamanda yaptığı iş oranı"nı bulup toplamak, sonra tersini almak yeterlidir.
- Dolum ve boşaltım birlikte olduğunda oranlar toplanmaz, boşaltım oranı dolum oranından çıkarılır.
- Permütasyon P(n,r)=n!/(n−r)! sıralı seçimlerde, kombinasyon C(n,r)=n!/(r!(n−r)!) sırasız seçimlerde kullanılır.
- Görev/sıra varsa permütasyon, yoksa (eşit bir grup/komisyon seçimiyse) kombinasyon kullanılır.
- Klasik olasılık = istenen durum / tüm durumlar; "olmama" olasılığı 1'den çıkarılarak bulunur.
- Her sonucu, sorunun verdiği sayılarla mutlaka geriye doğru kontrol et.