ALES Sayısal · 6. hafta

Yüzde, kâr-zarar, oran-orantı

Bu konudan sınavda ortalama 4,5 soru çıkıyor (son 11 ALES).

ALES'te bu konu nasıl çıkar? Yüzde problemleri sınav başına ortalama 2,5 soru ile, genellikle testin 16-18. soruları civarında karşına çıkar. Oran-orantı ise ortalama 2 soru ile hem bu erken bloklarda hem de 20-37. sorular arasındaki bloklarda görülür. Tipik kalıp: bir fiyata art arda zam/indirim uygulanır, bir maliyet-satış-kâr ilişkisi kurulur, ya da iki büyüklük arasında "kaç kat" ilişkisi verilip üçüncü değer sorulur. Bu konu, ALES'te en garanti puan getiren konulardan biridir çünkü işlemler kısadır, tuzaklar bellidir.

1. Yüzde hesabının temeli

%a demek, 100'de a demektir. Bir sayının %a'sını bulmak için o sayıyı a/100 ile çarparız.

X sayısının %a'sı = X · a100

Bir sayıyı %a artırmak: X · (1 + a/100) ile çarpmak. Bir sayıyı %a azaltmak: X · (1 − a/100) ile çarpmak.

Mini örnek: 200'ün %15'i, 200 · 0,15 = 30'dur. 200'ü %15 artırırsak 200 · 1,15 = 230 olur.

2. Art arda zam ve indirim

ALES'in en sevdiği tuzaklardan biri budur: bir ürüne önce %a zam, sonra %b indirim (ya da tam tersi) uygulanır ve net değişim sorulur. Doğru yöntem, yüzdeleri toplayıp çıkarmak değil, çarpan olarak art arda uygulamaktır.

Art arda yüzde işlemi: %a zam sonra %b indirim uygulanan bir fiyatın son hali:

Son fiyat = Başlangıç fiyatı · (1 + a/100) · (1 − b/100)

Bu iki çarpanın çarpımı asla (1 + a/100 − b/100) ile aynı değildir; yüzdeler doğrudan toplanıp çıkarılamaz.

Tuzak 1 — Yüzdeleri toplama hatası: "%20 zam, sonra %20 indirim yapıldı, fiyat değişmedi" demek yanlıştır! 100 TL'lik bir ürün önce 120 TL olur, sonra %20 indirimle 120 · 0,8 = 96 TL olur; yani başlangıçtan %4 daha düşüktür. Zam ve indirim yüzdesi eşit olsa bile net sonuç her zaman bir kayıptır (indirim, artık büyümüş olan fiyat üzerinden hesaplandığı için).

3. Maliyet, satış fiyatı ve kâr-zarar

Kârlı satış: Satış fiyatı = Maliyet · (1 + kâr oranı)

Zararlı satış: Satış fiyatı = Maliyet · (1 − zarar oranı)

Kâr ya da zarar oranı her zaman maliyet üzerinden hesaplanır, satış fiyatı üzerinden değil (soru aksini belirtmedikçe).

Mini örnek: Maliyeti 100 TL olan bir ürün %30 kârla satılırsa satış fiyatı 100 · 1,3 = 130 TL'dir. Kâr miktarı ise 30 TL'dir.

4. Komisyon

Komisyon da bir çeşit yüzde hesabıdır: bir satış tutarının belirli bir yüzdesi, aracıya (emlakçı, banka, satış temsilcisi vb.) ödenir.

Komisyon tutarı = Satış tutarı · komisyon oranı100

5. Oran ve orantı

İki büyüklük arasındaki ilişki iki türlü olabilir:

Doğru orantı: Bir büyüklük artarken diğeri de aynı oranda artar (biri 2 katına çıkarsa diğeri de 2 katına çıkar). Oran sabittir: ab = cd biçiminde kurulur.

Ters orantı: Bir büyüklük artarken diğeri aynı oranda azalır (biri 2 katına çıkarsa diğeri yarıya iner). Çarpım sabittir: a · b = c · d biçiminde kurulur.

Hangi orantı türü olduğuna karar vermenin en güvenli yolu, olayı gerçek hayatta düşünmektir: bir işçi ne kadar çok saat çalışırsa o kadar çok iş yapar (doğru orantı); bir işi ne kadar çok işçi yaparsa o kadar az sürede biter (ters orantı).

Tuzak 2 — Orantı türünü karıştırmak: "Hız arttıkça, aynı yolu almak için gereken süre" ters orantılıdır (hız 2 katına çıkarsa süre yarıya iner), ama "hız arttıkça, aynı sürede alınan yol" doğru orantılıdır. ALES bu iki durumu birbirine benzer cümlelerle sorar; kurmadan önce mutlaka "biri artarken diğeri gerçekten de aynı yönde mi, ters yönde mi değişiyor" diye kendine sor.

Çözümlü Örnekler

Bir ürünün fiyatı önce %20 artırılıyor, sonra yeni fiyat üzerinden %10 indirim yapılıyor. Ürünün son fiyatı, ilk fiyatına göre nasıl değişmiştir?
A) %2 azalmıştır B) %8 artmıştır C) %10 artmıştır D) %12 artmıştır E) %30 artmıştır

Çözüm

Başlangıç fiyatına 1 birim diyelim. %20 zamdan sonra: 1 · 1,20 = 1,20.

Bu fiyat üzerinden %10 indirim: 1,20 · 0,90 = 1,08.

Son fiyat başlangıcın 1,08 katı, yani %8 artış var.

Cevap: B) %8 artmıştır

Maliyeti 200 TL olan bir ürün %25 kârla satılıyor. Bu ürünün satış fiyatı kaç TL'dir?
A) 220 B) 225 C) 240 D) 250 E) 260

Çözüm

Satış fiyatı = Maliyet · (1 + kâr oranı) = 200 · 1,25 = 250 TL.

Cevap: D) 250

Bir ürün 300 TL'ye satıldığında satıcı, maliyetinin %20'si kadar zarar etmektedir. Bu ürünün maliyeti kaç TL'dir?
A) 340 B) 350 C) 360 D) 375 E) 390

Çözüm

Zararlı satışta: Satış fiyatı = Maliyet · (1 − 0,20) = Maliyet · 0,80.

Maliyet · 0,80 = 300 → Maliyet = 300 / 0,80 = 375 TL.

Kontrol: 375'in %20'si 75'tir, 375 − 75 = 300. Doğrulandı.

Cevap: D) 375

Bir işçi sabit hızla çalışarak 8 saatte 40 birim ürün üretmektedir. Aynı işçi aynı hızla 5 saatte kaç birim ürün üretir?
A) 20 B) 22 C) 24 D) 25 E) 28

Çözüm

Bu doğru orantı örneğidir: süre azalırsa üretim de aynı oranda azalır.

Saatte üretim = 40 / 8 = 5 birim. 5 saatte üretim = 5 · 5 = 25 birim.

Cevap: D) 25

Bir işi 6 işçi birlikte çalışarak 10 günde bitirmektedir. Aynı işi, aynı hızda çalışan 4 işçi kaç günde bitirir?
A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18

Çözüm

Bu ters orantı örneğidir: işçi sayısı azalırsa süre uzar. İşçi sayısı ile gün sayısının çarpımı sabittir (toplam iş miktarı).

6 · 10 = 60 (işçi-gün, toplam iş miktarı). 4 işçi için gerekli gün: 60 / 4 = 15 gün.

Cevap: C) 15

Bir emlakçı, sattığı 500.000 TL değerindeki bir daire için satış bedelinin %3'ü kadar komisyon almaktadır. Emlakçının aldığı komisyon kaç TL'dir?
A) 10.000 B) 12.500 C) 15.000 D) 17.500 E) 20.000

Çözüm

Komisyon = 500.000 · (3/100) = 500.000 · 0,03 = 15.000 TL.

Cevap: C) 15.000

6. Yüzdeyi kesre ve ondalığa çevirmek

Sıfırdan başlıyorsan önce şunu netleştirelim: yüzde, kesir ve ondalık sayı aslında aynı miktarı üç farklı biçimde yazmanın yollarıdır. Aralarında geçiş yapabilmek, hesapları çok hızlandırır.

%a = a100 = a/100 ondalığı

Örnek geçişler:

  • %50 = 50/100 = 1/2 = 0,5
  • %25 = 25/100 = 1/4 = 0,25
  • %20 = 20/100 = 1/5 = 0,2
  • %75 = 75/100 = 3/4 = 0,75

Sık geçen kesir karşılıklarını ezbere bilmek, işlem sırasında zaman kazandırır.

7. Tersten yüzde sorma: bir sayı, başka bir sayının yüzde kaçıdır?

Bazı sorularda yüzde verilmez, tam tersine iki sayı verilip aralarındaki yüzdelik ilişki sorulur. Bu tip sorularda hangi sayının "bütün" (payda), hangisinin "parça" (pay) olduğunu doğru belirlemek kritiktir.

"A sayısı, B sayısının yüzde kaçıdır?" sorusunda B bütündür (payda), A parçadır (pay):

Yüzde oranı = AB × 100

Mini örnek: "30, 40'ın yüzde kaçıdır?" sorusunda B=40 bütündür: (30/40)×100 = %75.

Tuzak 3 — Bütünü karıştırmak: "60, 75'in yüzde kaçıdır?" ile "75, 60'ın yüzde kaçıdır?" tamamen farklı sonuçlar verir. Birincide bütün 75'tir (60/75×100=%80), ikincide bütün 60'tır (75/60×100=%125, yani 60'tan büyük bir sayı %100'ü aşan bir oran verir). Cümlede "...'in yüzde kaçı" ifadesinden hemen önce gelen sayı, her zaman bütünü (paydayı) gösterir.

8. Ters orantılı paylaştırma

Oran-orantı konusunun ALES'te sık çıkan bir uzantısı da bir miktarın, verilen sayılara ters orantılı olarak paylaştırılmasıdır. Bu, doğru orantılı paylaştırmadan (y10 dersindeki oranlı paylaştırmadan) farklı işler.

Ters orantılı paylaştırma — adım adım şablon:

  1. Verilen sayıların (örneğin 2, 3, 6) her birinin çarpmaya göre tersini (1/2, 1/3, 1/6) yaz.
  2. Bu kesirleri ortak paydada birleştirip tam sayı oranına çevir (örn. 1/2:1/3:1/6 = 3:2:1).
  3. Bu yeni oranla, toplam parça sayısını bulup birim değeri hesapla (oranlı paylaştırmadaki gibi).
  4. Her payı kendi yeni oranıyla çarparak bul.

Dikkat: ters orantıda en küçük sayıya karşılık gelen pay her zaman en büyük olur.

Mini örnek: 60 sayısı 2 ve 3 ile ters orantılı paylaştırılırsa tersleri 1/2 ve 1/3'tür; ortak paydada 3:2 oranı çıkar. Toplam parça 5, birim değer 60/5=12; paylar 3×12=36 ve 2×12=24'tür (36 küçük sayı 2'ye, 24 ise büyük sayı 3'e karşılık gelir).

Yeni çözümlü örnekler

60 sayısı 75 sayısının yüzde kaçıdır?

A) 60 B) 70 C) 75 D) 80 E) 85

Çözüm

Bütün 75'tir (75'in yüzde kaçı soruluyorsa 75 paydadır): (60/75) × 100

60/75 = 0,8 → %80

Cevap: D) 80

180 sayısı 2, 3 ve 6 sayılarıyla ters orantılı olarak üç parçaya ayrılıyor. Buna göre en büyük parça kaçtır?

A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100

Çözüm

2, 3, 6'nın tersleri: 1/2, 1/3, 1/6. Ortak payda 6 alınırsa oranlar 3:2:1 olur.

Toplam parça sayısı: 3+2+1=6. Birim değer: 180/6=30.

En büyük parça, en küçük sayıya (2'ye) karşılık gelen 3 birimlik paydır: 3×30=90.

Kontrol: paylar 90, 60, 30 olur; toplam 90+60+30=180 ✓

Cevap: D) 90

Bir ürünün fiyatı önce %10, sonra %20 artırılıyor; en son bu fiyat üzerinden %25 indirim yapılıyor. Ürünün son fiyatı, ilk fiyatına göre nasıl değişmiştir?

A) %1 azalmıştır B) %1 artmıştır C) %5 artmıştır D) %10 artmıştır E) değişmemiştir

Çözüm

Başlangıç fiyatına 1 diyelim. %10 zam: 1×1,10=1,10. %20 zam: 1,10×1,20=1,32.

%25 indirim: 1,32×0,75=0,99.

Son fiyat başlangıcın 0,99 katı, yani %1 azalmıştır.

Cevap: A) %1 azalmıştır

Kendini dene

%40 yüzdesini kesir ve ondalık sayı olarak yaz.

Çözüm

%40 = 40/100 = 2/5 = 0,4.

Cevap: 2/5 = 0,4

45 sayısı 180 sayısının yüzde kaçıdır?

Çözüm

Bütün 180'dir: 45/180 = 0,25 → %25.

Cevap: %25

Maliyeti 400 TL olan bir ürün %15 zararla satılırsa satış fiyatı kaç TL olur?

Çözüm

Satış fiyatı = 400 × (1 − 0,15) = 400 × 0,85 = 340 TL.

Cevap: 340 TL

120 sayısı 3 ve 5 sayılarıyla ters orantılı olarak paylaştırılırsa büyük pay kaç olur?

Çözüm

Tersleri 1/3, 1/5; ortak payda 15'te oranlar 5:3. Toplam parça 8, birim değer 120/8=15.

Büyük pay, küçük sayıya (3'e) karşılık gelen 5 birimlik paydır: 5×15=75.

Cevap: 75

Bir ürüne %30 zam yapılıyor, sonra bu yeni fiyat üzerinden %30 indirim yapılıyor. Son fiyat, ilk fiyata göre yüzde kaç değişmiştir?

Çözüm

1 × 1,30 × 0,70 = 0,91. Son fiyat başlangıcın 0,91 katı, yani %9 azalmıştır.

Cevap: %9 azalmıştır

Özet

  • Yüzde artışı ve azalışı, çarpan olarak uygula: (1 + a/100) ve (1 − a/100).
  • Art arda zam ve indirimlerde yüzdeleri asla direkt toplayıp çıkarma; çarpanları sırayla çarp.
  • Eşit yüzdelik zam-indirim (ya da indirim-zam) her zaman net bir kayıpla sonuçlanır.
  • Kâr-zarar oranı, aksi belirtilmedikçe her zaman maliyet üzerinden hesaplanır.
  • Komisyon, satış tutarının belirli bir yüzdesidir; aynı yüzde hesabı mantığıyla çözülür.
  • Sık geçen yüzde-kesir-ondalık karşılıklarını (%50=1/2, %25=1/4, %20=1/5 gibi) ezbere bil.
  • "A, B'nin yüzde kaçıdır" sorusunda B (cümlede sonra gelen sayı) her zaman bütündür/paydadır.
  • Doğru orantıda oran sabittir (a/b = c/d); ters orantıda çarpım sabittir (a·b = c·d).
  • Ters orantılı paylaştırmada sayıların tersini alıp ortak paydada tam sayı oranına çevir; en küçük sayıya en büyük pay düşer.
  • Orantı türüne karar vermeden önce, büyüklüklerden biri artınca diğerinin gerçekte ne yaptığını mantıkla kontrol et.

Son güncelleme:

Bu içerik ALES Kampı'na aittir: https://aleskampi.com/