ALES Sayısal · 5. hafta

Sayı-kesir ve yaş problemleri

Bu konudan sınavda ortalama 4,4 soru çıkıyor (son 11 ALES).

ALES'te bu konu nasıl çıkar? Sayı ve kesir problemleri ALES sayısal bölümünde sınav başına ortalama 3,7 soru ile karşına çıkıyor; genellikle testin 16-28. soruları arasında yer alıyor. Yaş problemleri ise daha seyrek: sınav başına ortalama 0,6 soru, çoğunlukla 19. soru civarında. Yani bu iki konu birlikte, sayısal bölümün ilk yarısında karşına çıkan, "bilinmeyeni x koy, denklemi kur, çöz" mantığıyla ilerleyen klasik sözel-matematik sorularıdır. Tipik kalıp: bir hikaye anlatılır (bir sayı, bir kişinin parası, bir grubun yaşı), sana birkaç ilişki verilir, senden bilinmeyeni bulman istenir. İyi haber şu: bu sorularda karmaşık formül yok; tek gereken, cümleyi doğru okuyup adım adım matematiğe çevirmek ve bulduğun sonucu sorunun cümlesine geri koyarak kontrol etmektir.

1. Metni denkleme çevirme

Bu konunun tamamı tek bir beceriye dayanıyor: Türkçe cümleyi matematik diline çevirmek. Sıfırdan başlayalım. Önce bilinmeyen sayıyı bir harfle, genellikle x ile gösteririz. Sonra cümledeki her ifadeyi sırayla x cinsinden yazarız.

Sık kullanılan kalıplar:

  • "bir sayı" → x
  • "bir sayının 3 katı" → 3x
  • "bir sayının 3 katının 5 eksiği" → 3x − 5
  • "bir sayının 5 eksiğinin 3 katı" → 3(x − 5) (parantez sırası değiştirir, dikkat!)
  • "bir sayının yarısı" → x2
  • "iki sayının toplamı" → x + y
  • "iki sayının farkı" → x − y
  • "...'den ... fazladır / eksiktir" → + / −
  • "...'nın ... katıdır" → çarpma

Mini örnek: "Bir sayının 4 katının 7 fazlası 31'dir" cümlesini kur: 4x + 7 = 31. Buradan 4x = 24, x = 6 bulunur. Gördüğün gibi, iş sadece cümleyi doğru sıraya dizmekte bitiyor; asıl matematik çok basit.

Bazı sorularda tek bir bilinmeyen yetmez, iki farklı sayı (ya da iki kişi) birlikte anılır. Bu durumda ikinci sayıyı da bir harfle (örneğin y ile) göstermek yerine, mümkünse birinci bilinmeyen cinsinden ifade etmek işini kısaltır. Mini örnek: "İki sayının toplamı 30'dur, büyük sayı küçük sayının 2 katıdır" cümlesinde küçük sayıya x dersek büyük sayı 2x olur; tek bilinmeyenle x + 2x = 30 → 3x = 30 → x = 10, büyük sayı 20'dir. Bu, "iki bilinmeyeni birbiri cinsinden yazma" alışkanlığı, az sonra göreceğin yaş problemlerinde de işine yarayacak.

Tuzak 1 — Sıra karışıklığı: "Bir sayının 5 eksiğinin 3 katı" ile "bir sayının 3 katının 5 eksiği" birbirinden tamamen farklıdır. Birincisi 3(x − 5), ikincisi 3x − 5'tir. ALES bu iki ifadeyi bilerek birbirine benzer kurar; cümleyi kelime kelime, en sondan başa doğru (son eylem en dışta parantez, ya da matematiksel önceliğe göre) çevirmeyi alışkanlık haline getir.

2. Kesir problemleri

Kesir problemlerinde anahtar kelime genellikle "kalan"dır. Bir bütünün bir kısmı harcanır/kullanılır/ayrılır, sonra geriye kalan üzerinden yeni bir kesir alınır. Buradaki en büyük hata, ikinci kesri toplamın tamamına değil, kalan kısma uygulamayı unutmaktır.

Kesir problemi çözüm adımları:

  1. Bilinmeyen bütünü x ile göster.
  2. Her adımda "ne kadar harcandı" ve "geriye ne kadar kaldı"yı ayrı ayrı yaz.
  3. İkinci kesri, bütüne değil, o anki kalan miktara uygula.
  4. Son kalan miktarı verilen sayıya eşitleyip x'i bul.

Mini örnek: Bir depodaki malın önce 1/4'ü satılıyor. Depoda x birim varsa, satılan x/4, kalan 3x/4'tür. "Kalanın 1/3'ü de bağışlandı" dendiğinde bağışlanan miktar (1/3)(3x/4) = x/4'tür — bütünün 1/3'ü değil!

Bazı kesir problemlerinde işlem tek adımda değil, art arda birkaç adımda ilerler; her adımda kalan miktarın değiştiğini unutmamak gerekir. Mini örnek: Bir sınıftaki öğrencilerin önce 1/3'ü, sonra kalanın yarısı bir geziye katılmıyor. x öğrenciden 1/3'ü (x/3 kişi) katılmıyor, kalan 2x/3 kişi arasından yarısı (yani (1/2)(2x/3) = x/3 kişi daha) katılmıyor. Toplamda katılmayan sayısı x/3 + x/3 = 2x/3, katılan ise x − 2x/3 = x/3 kişidir. Görüldüğü gibi her adımda "kalan" yeniden hesaplanmalı, ilk bütün üzerinden değil.

3. Yaş problemleri

Yaş problemlerinde tek ve en önemli kural şudur:

İki kişinin yaş farkı zamanla değişmez. Bugün Ayşe annesinden 24 yaş küçükse, 10 yıl sonra da, 10 yıl önce de fark yine 24'tür. Sadece ikisinin yaşı da aynı miktarda (aynı t kadar) artar ya da azalır.

"t yıl sonra" ifadesi, her iki kişinin yaşına da +t eklenmesi demektir. "t yıl önce" ise −t demektir.

Mini örnek: Bugün baba 40, oğul 10 yaşında ise fark 30'dur. 5 yıl sonra baba 45, oğul 15 olur; fark yine 30'dur. Bu yüzden yaş problemlerinde genelde iki bilinmeyen (iki kişinin yaşı) ve iki denklem (fark bilgisi + "t yıl sonra/önce" bilgisi) kurulur.

Tuzak 2 — Oranın sabit sanılması: Yaş farkı sabittir ama yaşların oranı sabit değildir. "Babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katıdır" bilgisi sadece bugün için geçerlidir; 10 yıl sonra bu oran 3 olmaktan çıkar. Her zaman diliminde oran ayrı ayrı kurulmalı, "oran hep aynı kalır" diye düşünülmemelidir.

Çözümlü Örnekler

Bir sayının 3 katının 5 eksiği 22'ye eşittir. Bu sayı kaçtır?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

Çözüm

Sayıya x diyelim. "3 katının 5 eksiği" ifadesi 3x − 5'tir. Denklem: 3x − 5 = 22.

3x = 27, buradan x = 9.

Cevap: C) 9

Bir sayının 2 katı ile 7'nin toplamı, aynı sayının 4 katının 9 eksiğine eşittir. Bu sayı kaçtır?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

Çözüm

Sayıya x diyelim. Sol taraf: 2x + 7. Sağ taraf: 4x − 9. Denklem: 2x + 7 = 4x − 9.

7 + 9 = 4x − 2x → 16 = 2x → x = 8.

Cevap: C) 8

Ali'nin parasının 2/5'ini harcadıktan sonra kalan paranın 1/3'ü ile bir kitap almış ve elinde 40 TL kalmıştır. Ali'nin başlangıçtaki parası kaç TL'dir?
A) 60 B) 80 C) 100 D) 120 E) 150

Çözüm

Başlangıç parasına x diyelim. Harcanan: (2/5)x. Kalan: x − (2/5)x = (3/5)x.

Kitaba verilen: kalanın 1/3'ü, yani (1/3)·(3/5)x = (1/5)x.

Son kalan: (3/5)x − (1/5)x = (2/5)x. Bu miktar 40 TL'ye eşit: (2/5)x = 40 → x = 100.

Kontrol: 100'ün 2/5'i olan 40 harcanır, kalan 60. 60'ın 1/3'ü olan 20 kitaba gider, kalan 60 − 20 = 40. Doğrulandı.

Cevap: C) 100

Ayşe ile annesinin yaşları arasındaki fark 24'tür. 6 yıl sonra annenin yaşı, Ayşe'nin yaşının 2 katı olacaktır. Ayşe'nin şu anki yaşı kaçtır?
A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22

Çözüm

Ayşe'nin yaşı a, annenin yaşı m olsun. Fark bilgisi: m − a = 24, yani m = a + 24.

6 yıl sonra: m + 6 = 2(a + 6). Yerine koyarsak: (a + 24) + 6 = 2a + 12 → a + 30 = 2a + 12 → a = 18.

O halde anne m = 18 + 24 = 42. Kontrol: 6 yıl sonra anne 48, Ayşe 24; 48 = 2 × 24. Doğrulandı.

Cevap: C) 18

Bir baba ile oğlunun yaşları toplamı 50'dir. 5 yıl önce babanın yaşı, oğlunun yaşının 4 katı imiş. Buna göre baba şu an kaç yaşındadır?
A) 33 B) 35 C) 37 D) 39 E) 41

Çözüm

Baba b, oğul o olsun. Toplam bilgisi: b + o = 50.

5 yıl önce bilgisi: b − 5 = 4(o − 5) → b − 5 = 4o − 20 → b = 4o − 15.

Toplam denkleminde yerine koy: (4o − 15) + o = 50 → 5o = 65 → o = 13. Buradan b = 50 − 13 = 37.

Kontrol: 5 yıl önce baba 32, oğul 8; 32 = 4 × 8. Doğrulandı.

Cevap: C) 37

4. Denklem çözmenin temel kuralı — adım adım şablon

Bir cümleyi denkleme çevirdikten sonra sıra denklemi çözmeye gelir. Bunun tek bir altın kuralı vardır: eşitliğin iki tarafına da aynı işlemi uygularsan eşitlik bozulmaz. Sıfırdan başlayan biri için bunu adım adım bir şablona dökelim.

Adım adım çözüm şablonu:

  1. Cümleyi okuyup bilinmeyeni x (gerekiyorsa ikinci bilinmeyeni x cinsinden) ile ifade et, denklemi kur.
  2. Parantez varsa önce parantezleri aç.
  3. Bilinmeyen terimleri eşitliğin bir tarafına, sayıları diğer tarafına topla (bir terimi karşı tarafa geçirirken işaretini değiştir).
  4. x'in katsayısına bölerek x'i yalnız bırak.
  5. Bulduğun değeri sorunun orijinal cümlesine geri koyup kontrol et.

Mini örnek: 2(x + 3) = 16 denklemini bu şablonla çözelim: önce parantezi aç, 2x + 6 = 16 olur; sayıyı karşı tarafa geçir, 2x = 10; katsayıya böl, x = 5. Kontrol: 2(5+3) = 2×8 = 16 ✓

5. Ardışık sayı problemleri

Bu problemlerde birbirini takip eden tam sayılar, çift sayılar ya da tek sayılar hakkında bir toplam veya ilişki verilir. Anahtar, ardışık sayılar arasındaki farkı doğru belirlemektir.

Ardışık sayılarda fark:

  • Ardışık tam sayılar arasındaki fark her zaman 1'dir: x, x+1, x+2, …
  • Ardışık çift sayılar ya da ardışık tek sayılar arasındaki fark her zaman 2'dir: x, x+2, x+4, …

Ortadaki sayıyı x almak, toplamları hesaplarken işlemi kısaltır (simetrik terimler birbirini götürür).

Mini örnek: Ardışık üç tam sayının toplamı 30 ise ortadaki sayıya x dersek (x−1) + x + (x+1) = 30 → 3x = 30 → x = 10; sayılar 9, 10, 11'dir.

6. Oranlı paylaştırma problemleri

Bir toplam miktar, verilen bir orana göre parçalara ayrılıyorsa "birim değer yöntemi" en hızlı yoldur.

Oranlı paylaştırma adımları:

  1. Oranı oluşturan sayıları topla; bu, toplam "parça sayısını" verir.
  2. Verilen toplam miktarı, bu parça sayısına bölerek "1 parçanın" değerini (birim değeri) bul.
  3. Her payı, kendi oranıyla birim değeri çarparak hesapla.

Mini örnek: 40 sayısı 3:5 oranında iki parçaya ayrılırsa toplam parça sayısı 3+5=8, birim değer 40/8=5; parçalar 3×5=15 ve 5×5=25'tir (15+25=40 ✓).

Tuzak 3 — Ardışık sayılarda fark karıştırma: "Ardışık üç sayı" dendiğinde aralarındaki fark 1'dir, ama "ardışık üç çift sayı" ya da "ardışık üç tek sayı" dendiğinde fark 2'dir. Bu ikisini karıştırıp her ikisinde de x, x+1, x+2 yazmak yanlış sonuca götürür; soruda "çift" ya da "tek" kelimesi geçiyorsa mutlaka fark 2 kullan.

Yeni çözümlü örnekler

Ardışık üç tam sayının toplamı 72'dir. Bu sayılardan en büyüğü kaçtır?

A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) 27

Çözüm

Ortadaki sayıya x diyelim: (x−1) + x + (x+1) = 72 → 3x = 72 → x = 24.

En büyük sayı x+1 = 25'tir. Kontrol: 23+24+25=72 ✓

Cevap: C) 25

İki sayının oranı 3:5'tir. Bu sayıların toplamı 96 olduğuna göre büyük sayı kaçtır?

A) 48 B) 54 C) 60 D) 66 E) 72

Çözüm

Toplam parça sayısı 3+5=8. Birim değer: 96/8=12.

Büyük sayı 5 parça: 5×12=60. Kontrol: küçük sayı 3×12=36, 36+60=96 ✓

Cevap: C) 60

Bir anne ile kızının yaşları oranı 7:2'dir. Aralarındaki yaş farkı 30 olduğuna göre kızın yaşı kaçtır?

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

Çözüm

Anne 7k, kız 2k yaşında olsun (oran sabit kalırken birim değeri k ile göstermek, oranlı paylaştırmanın yaş problemlerine uyarlanmış hâlidir).

Fark: 7k − 2k = 30 → 5k = 30 → k = 6.

Kızın yaşı: 2k = 12. Kontrol: anne 7×6=42, fark 42−12=30 ✓

Cevap: B) 12

Kendini dene

Ardışık iki çift sayının toplamı 74'tür. Büyük sayı kaçtır?

Çözüm

Küçük sayı x, büyük x+2 olsun: x + (x+2) = 74 → 2x = 72 → x = 36. Büyük sayı = 38.

Cevap: 38

Bir sayının 3 katının 8 eksiği 40'a eşittir. Bu sayı kaçtır?

Çözüm

3x − 8 = 40 → 3x = 48 → x = 16.

Cevap: 16

İki sayının oranı 2:7'dir, toplamları 63'tür. Küçük sayı kaçtır?

Çözüm

Parça sayısı 2+7=9, birim değer 63/9=7. Küçük sayı 2×7=14.

Cevap: 14

Bir baba oğlundan 28 yaş büyüktür. 4 yıl sonra babanın yaşı, oğlunun yaşının 3 katı olacaktır. Oğlun şu anki yaşı kaçtır?

Çözüm

Baba b, oğul o olsun: b = o + 28. 4 yıl sonra: b + 4 = 3(o + 4).

(o+28)+4 = 3o+12 → o+32 = 3o+12 → 2o = 20 → o = 10.

Cevap: 10

Bir depodaki malın 2/5'i satılıyor, kalanın 1/4'ü de bağışlanıyor ve geriye 90 birim kalıyor. Depodaki başlangıç miktarı kaçtır?

Çözüm

Başlangıç x olsun. Satış sonrası kalan: (3/5)x. Bağış: (1/4)(3/5)x = (3/20)x.

Son kalan: (3/5)x − (3/20)x = (12/20)x − (3/20)x = (9/20)x = 90 → x = 200.

Cevap: 200

Özet

  • "Bir sayının a katının b eksiği/fazlası" kalıbını cümledeki sırayla, en sondan başa doğru matematiğe çevir.
  • "...'nin ... katı" ile "...'ün ... eksiği/fazlası" birlikte geçtiğinde önce çarpma mı parantez mi olduğuna dikkat et.
  • Kesir problemlerinde ikinci kesri bütüne değil, o ana kadar kalan miktara uygula.
  • Denklem çözerken eşitliğin iki tarafına aynı işlemi uygula; bir terimi karşıya geçirirken işaretini değiştir.
  • Ardışık tam sayılarda fark 1, ardışık çift/tek sayılarda fark 2'dir; ortadaki sayıyı x almak işlemi kısaltır.
  • Oranlı paylaştırmada önce toplam parça sayısını bul, sonra birim değeri hesapla, sonra her payı kendi oranıyla çarp.
  • Yaş problemlerinde iki kişinin yaş farkı her zaman sabittir; sadece oran zamanla değişir.
  • "t yıl sonra" her iki kişinin yaşına +t, "t yıl önce" her iki kişinin yaşına −t eklenmesi demektir.
  • İki bilinmeyenli yaş sorularında iki denklem kurup yerine koyma (biriyle diğerini ifade etme) yöntemiyle çöz.
  • Bulduğun sonucu mutlaka sorunun cümlesine geri koyup kontrol et.

Son güncelleme:

Bu içerik ALES Kampı'na aittir: https://aleskampi.com/