ALES Sayısal · 2. hafta

Üslü sayılar

Bu konudan sınavda ortalama 4,0 soru çıkıyor (son 11 ALES).

Üslü sayılar ALES sayısalında genelde 2. soru olarak ve tekrar 10-11. sorular civarında karşına çıkar. En sık görülen kalıplar: iki farklı üslü ifadeyi "ortak parantez" ile toplamak/çıkarmak (ör. 2⁷+2⁸ gibi), üslü denklem çözmek ve büyüklük sıralaması yapmaktır.

Üslü sayının tanımı

aⁿ, a sayısının kendisiyle n defa çarpılması demektir: aⁿ = a × a × … × a (n tane a).

Burada a "taban", n "üs" (kuvvet) olarak adlandırılır.

Negatif ve sıfır üs

  • a⁰ = 1 (a ≠ 0 olmak şartıyla, herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir)
  • a⁻ⁿ = 1/aⁿ (negatif üs, tabanın tersinin pozitif kuvveti anlamına gelir)

2⁻³ işleminin sonucu kaçtır?

A) −8 B) −1/8 C) 1/8 D) 8 E) 1/6

Çözüm

Negatif üs kuralı: 2⁻³ = 1/2³

2³ = 8

Sonuç: 1/8

Cevap: C) 1/8

Tuzak: "Negatif üs, sonucu negatif yapar" sanmak çok yaygın bir hatadır. 2⁻³ negatif bir sayı DEĞİLDİR, tam tersine pozitif bir kesirdir (1/8). Negatif üs sadece tabanın "tersini" almanı söyler, işareti değiştirmez.

Üs kuralları

  • aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (aynı tabanlı çarpmada üsler toplanır)
  • aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (aynı tabanlı bölmede üsler çıkarılır)
  • (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ (üssün üssü, üsler çarpılır)
  • (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ
  • aⁿ × bⁿ = (a·b)ⁿ (farklı taban aynı üs ise tabanlar çarpılabilir)

2³ × 2⁴ işleminin sonucu kaçtır?

A) 32 B) 64 C) 128 D) 256 E) 512

Çözüm

Aynı tabanlı çarpma kuralı: 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷

2⁷ = 128

Cevap: C) 128

Ortak paranteze alma

ALES'in en sevdiği kalıplardan biri budur: 2⁷ + 2⁸ gibi bir toplamı, ortak çarpanı parantezine alarak kolay hesaplanabilir hale getirmek.

2⁷ + 2⁸ = 2⁷(1 + 2¹) = 2⁷ × 3

Genel mantık: aⁿ + aⁿ⁺ᵏ = aⁿ(1 + aᵏ)

2⁷ + 2⁸ işleminin sonucu kaçtır?

A) 192 B) 256 C) 320 D) 384 E) 512

Çözüm

Ortak çarpan 2⁷'yi parantezine alalım:

2⁷ + 2⁸ = 2⁷ + 2⁷×2 = 2⁷(1+2) = 2⁷ × 3

2⁷ = 128, 128 × 3 = 384

Cevap: D) 384

Tuzak: 2⁷ + 2⁸ ifadesini 2¹⁵ sanmak çok sık yapılan bir hatadır. Üsler SADECE çarpma işleminde toplanır (2⁷×2⁸=2¹⁵ doğrudur), ama toplama işleminde (2⁷+2⁸) böyle bir kural yoktur. Toplama durumunda ortak parantez yöntemini kullanmalısın.

Üslü denklemler

Üslü bir denklemi çözmek için her iki tarafı da aynı tabana getirmeye çalışırsın. Tabanlar eşitlendiğinde üsler de eşit olmalıdır.

3^(x+1) = 81 olduğuna göre x kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm

81 sayısını 3'ün kuvveti olarak yazalım: 81 = 3⁴

Denklem: 3^(x+1) = 3⁴

Tabanlar eşit olduğu için üsler de eşit olmalı: x+1 = 4

x = 3

Cevap: C) 3

Büyüklük sıralaması

Üslü sayıları karşılaştırırken, mümkünse aynı tabana veya aynı üsse getirmeye çalış. Bazen doğrudan hesaplamak da (küçük sayılarda) en pratik yoldur.

2⁵ ve 5² sayılarından hangisi daha büyüktür?

A) 2⁵ büyüktür B) 5² büyüktür C) Eşittir D) Karşılaştırılamaz E) İkisi de negatiftir

Çözüm

2⁵ = 2×2×2×2×2 = 32

5² = 5×5 = 25

32 > 25 olduğu için 2⁵ daha büyüktür.

Cevap: A) 2⁵ büyüktür

(2⁷ + 2⁸) ÷ 2⁶ işleminin sonucu kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12

Çözüm

Önce parantez içini ortak parantezle sadeleştirelim: 2⁷+2⁸ = 2⁷(1+2) = 2⁷×3

Şimdi bölelim: (2⁷×3) ÷ 2⁶ = 2⁷⁻⁶ × 3 = 2¹ × 3 = 2×3 = 6

Cevap: C) 6

ALES seviyesine çıkmak

ALES'te üslü sayı sorusu nadiren "23 kaçtır" kadar doğrudandır. Genellikle toplama ve çıkarma içeren bir ifadeyi ortak paranteze alarak sadeleştirmen ya da farklı tabanları aynı tabana çevirmen beklenir.

  • Ortak parantez: 210 − 28 = 28·(22 − 1) = 28·3. En küçük üslü terimi dışarı al.
  • Aynı taban: 4 = 22, 8 = 23, 9 = 32, 27 = 33, 25 = 52. Farklı görünen tabanlar çoğu zaman aynı sayının kuvvetidir.
  • Aynı üs: Büyüklük karşılaştırırken üsleri eşitle: 230 = (23)10 = 810.

(−2)4 ile −24 aynı şey değildir. (−2)4 = 16, ama −24 = −(24) = −16. Parantez yoksa üs yalnızca sayıya uygulanır, işarete değil. Ayrıca (23)2 = 64 iken 232 = 29 = 512.

210 − 2826 + 26 işleminin sonucu kaçtır? A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12

Çözüm

Payda: 26 + 26 = 2·26 = 27. Pay: 28·(22 − 1) = 28·3.

Bölüm: 28·327 = 2·3 = 6.

Cevap: C) 6

3x + 3x + 3x = 37 olduğuna göre x kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 21

Çözüm

Üç eş terimin toplamı: 3·3x = 3x+1. O hâlde 3x+1 = 37 ⇒ x + 1 = 7 ⇒ x = 6.

Sık yapılan hata: 3x + 3x + 3x = 33x sanmak. Toplamada üsler toplanmaz; eş terimler sayılır.

Cevap: B) 6

a = 230, b = 320, c = 510 olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) c < a < b C) b < a < c D) c < b < a E) a < c < b

Çözüm

Üsleri 10 olacak şekilde eşitle: a = (23)10 = 810, b = (32)10 = 910, c = 510. Üsler eşitken tabanı büyük olan büyüktür: 5 < 8 < 9.

Cevap: B) c < a < b

(12)−2 + (−1)7 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm

Negatif üs kesri ters çevirir: (12)−2 = 22 = 4. (−1)tek sayı = −1. Toplam: 4 − 1 = 3.

Cevap: C) 3

Özel tabanlar: 0, 1 ve −1

  • 1ⁿ = 1: 1 sayısının hangi kuvvetini alırsan al, sonuç her zaman 1'dir (1×1×1×…=1).
  • 0ⁿ = 0 (n > 0 için): 0 sayısının pozitif bir kuvveti her zaman 0'dır. (0⁰ ise ALES seviyesinde tanımsız kabul edilir, karşına çıkması beklenmez.)
  • (−1)ⁿ: n çift ise sonuç 1, n tek ise sonuç −1'dir. Yani işaret, üssün tek-çift olmasına bağlı olarak sürekli 1 ile −1 arasında gidip gelir.

Mini örnek: (−1)¹⁰⁰ ifadesinde üs (100) çift olduğu için sonuç 1'dir; (−1)⁹⁹ ifadesinde ise üs tek olduğu için sonuç −1'dir. Bu kural, büyük üslü ifadelerde "üssün çift mi tek mi olduğuna" bakarak saniyeler içinde işareti belirlemeni sağlar; sayının kendisini açıp çarpmana gerek kalmaz.

Kesirli (rasyonel) üs

Bir kök ifadesi, aslında kesirli bir üs olarak da yazılabilir: ⁿ√a = a^(1/n). Daha genel hâliyle: a^(m/n) = (ⁿ√a)^m = ⁿ√(aᵐ).

Yani üssün payı (m), sayının kaçıncı kuvvetinin alınacağını; paydası (n), kaçıncı dereceden kök alınacağını gösterir.

Mini örnek: 8^(1/3) ifadesi, 8'in küpkökü demektir: ³√8 = 2 (çünkü 2³=8). Bir başka örnek: 4^(3/2) = (√4)³ = 2³ = 8; ya da aynı sonuca (4³)^(1/2) = √64 = 8 şeklinde de ulaşabilirsin — hangi sırayla işlem yaparsan yap (önce kök sonra kuvvet, ya da önce kuvvet sonra kök) sonuç değişmez.

Bu ilişkiyi bilmek özellikle büyüklük sıralaması sorularında işine yarar: farklı köklerle verilmiş iki ifadeyi karşılaştırman gerektiğinde, her ikisini de kesirli üs olarak yazıp ortak bir paydaya (ortak üsse) getirebilirsin. Böylece kök işaretiyle boğuşmak yerine, üslü sayı kurallarını kullanarak (aynı üs, farklı taban → tabanı büyük olan büyüktür) hızlıca karar verebilirsin.

Adım adım çözüm şablonu: üslü ifadeleri sadeleştirme

Karmaşık görünen üslü bir ifadeyle karşılaştığında şu sırayı izle:

  1. Farklı tabanları, ortak bir asal tabana çevirebiliyor musun bak (ör. 4, 8, 16 hepsi 2'nin kuvvetidir).
  2. Toplama/çıkarma varsa, en küçük üslü terimi ortak parantezine al: aⁿ+aⁿ⁺ᵏ = aⁿ(1+aᵏ).
  3. Çarpma/bölme varsa, aynı tabanlıları üs toplayarak/çıkararak birleştir.
  4. Üssün üssü varsa (aᵐ)ⁿ=aᵐ·ⁿ kuralıyla tek bir üsse indir.
  5. Negatif ya da kesirli üs varsa, önce negatif üssü tersine çevir, kesirli üssü kök olarak yorumla.
  6. En sona kadar sadeleştirdikten sonra sayısal değeri hesapla ve şıklarla karşılaştır.

Tuzak: 1ⁿ ile n1 ifadesini ya da 0ⁿ ile n0 ifadesini karıştırmak, taban ve üssü ters okumaktan kaynaklanır. Ayrıca (−1) tabanlı ifadelerde üssün çift mi tek mi olduğuna bakmadan "sonuç hep −1'dir" ya da "sonuç hep 1'dir" diye ezberlemek yanlıştır — bu tamamen üssün tek-çift durumuna bağlıdır. Her zaman önce üsse bak.

Daha fazla ALES seviyesi örnek

4³ ile 3⁴ sayılarından hangisi daha büyüktür?

A) 4³ büyüktür B) 3⁴ büyüktür C) Eşittir D) Karşılaştırılamaz E) İkisi de eşit ve negatiftir

Çözüm

4³ = 4×4×4 = 64

3⁴ = 3×3×3×3 = 81

81 > 64 olduğu için 3⁴ daha büyüktür.

Cevap: B) 3⁴ büyüktür

8^(1/3) ifadesinin değeri kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8

Çözüm

Kesirli üs, kök anlamına gelir: 8^(1/3) = ³√8

Küpü 8 eden sayı 2'dir, çünkü 2³=8.

Cevap: B) 2

(0,5)⁻³ + (−1)¹⁰ işleminin sonucu kaçtır?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

Çözüm

(0,5)⁻³ = (1/2)⁻³ = 2³ = 8 (negatif üs, kesri ters çevirir)

(−1)¹⁰ = 1 (üs çift olduğu için sonuç pozitif 1)

Toplam: 8 + 1 = 9

Cevap: C) 9

Kendini dene

2⁴ işleminin sonucu kaçtır?

Cevap

2×2×2×2 = 16

3⁰ + 5⁰ işleminin sonucu kaçtır?

Cevap

Sıfırıncı kuvvet her zaman 1'dir: 1+1 = 2

(−3)² işleminin sonucu kaçtır?

Cevap

Negatif sayının çift kuvveti pozitiftir: (−3)×(−3) = 9

2³ × 2² işleminin sonucu kaçtır?

Cevap

Aynı tabanlı çarpma: üsler toplanır, 2³⁺²=2⁵=32

10⁸ ÷ 10⁵ işleminin sonucu kaçtır?

Cevap

Aynı tabanlı bölme: üsler çıkarılır, 10⁸⁻⁵=10³=1000

Özet

  • a⁰ = 1 ve a⁻ⁿ = 1/aⁿ; negatif üs sonucu negatif yapmaz, tersini alır.
  • Aynı tabanlı çarpmada üsler toplanır, bölmede üsler çıkarılır, üssün üssünde üsler çarpılır.
  • aⁿ + aⁿ⁺ᵏ tipi toplamları ortak parantez ile aⁿ(1+aᵏ) şeklinde sadeleştir; asla üsleri toplayarak birleştirme.
  • Üslü denklemlerde iki tarafı da aynı tabana getir, sonra üsleri eşitle.
  • Büyüklük karşılaştırmasında ortak taban/üs ara, gerekirse küçük sayılarda direkt hesapla.
  • Sınavda genelde 2. soru ve 10-11. sorular bu konudan gelir; ortak parantez tekniğine hakim ol.
  • 1ⁿ=1, 0ⁿ=0 (n>0), (−1)ⁿ üssün tek-çift olmasına göre −1 ya da 1 verir.
  • Kesirli üs kök demektir: a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ; üssün paydası kökün derecesini, payı kuvveti gösterir.
  • Karmaşık üslü ifadelerde şablon: ortak tabana çevir → toplamları ortak parantezle sadeleştir → aynı tabanlıları birleştir → negatif/kesirli üsleri çözüp sayısal değeri hesapla.

Bu konudan çözümlü sorular

Son güncelleme:

Bu içerik ALES Kampı'na aittir: https://aleskampi.com/