ALES Sayısal · 2. hafta

Köklü sayılar

Bu konudan sınavda ortalama 4,0 soru çıkıyor (son 11 ALES).

Köklü sayılar konusu ALES sayısalında genelde 3. soru olarak karşına çıkar. Bu, üslü sayılar konusunun hemen bir sonraki adımı gibi düşünülebilir; çünkü kök alma işlemi aslında kesirli bir üs almaktır. En sık görülen kalıplar: kökü dışarı çıkarma, kökler arası toplama-çarpma ve paydayı rasyonel yapmadır.

Kök almanın anlamı

√a, karesi a olan pozitif sayıdır. Yani √a = x ⇒ x² = a (x ≥ 0)

Örnek: √9 = 3 çünkü 3² = 9

Kökü dışarı çıkarma

Kök içindeki sayıyı, "tam kare × kalan" şeklinde çarpanlarına ayırırsan, tam kare kısmı kökten dışarı çıkabilir.

√(m²·k) = m·√k

√72 ifadesinin sadeleştirilmiş hâli aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2√18 B) 3√8 C) 6√2 D) 8√3 E) 12√2

Çözüm

72'yi tam kare içeren çarpanlarına ayıralım: 72 = 36 × 2

36 tam karedir (6²=36), bu yüzden: √72 = √(36×2) = √36 × √2 = 6√2

Cevap: C) 6√2

Köklü sayılarda toplama-çıkarma

Sadece kök içindeki sayılar (radikaller) AYNI ise toplanıp çıkarılabilir; bu durumda kök dışındaki katsayılar toplanır.

a√k + b√k = (a+b)√k

Tuzak: √2 + √3 ifadesi √5 DEĞİLDİR! Kök içindeki sayılar farklı olduğu için doğrudan toplanamaz. Ancak √50 + √18 gibi ifadelerde önce her ikisini de sadeleştirip aynı radikali (√2) elde edersen toplayabilirsin.

2√3 + 5√3 işleminin sonucu kaçtır?

A) 3√3 B) 6√3 C) 7√3 D) 10√3 E) 10√9

Çözüm

Kök içindeki sayılar aynı (√3), sadece katsayıları topluyoruz: 2+5=7

Sonuç: 7√3

Cevap: C) 7√3

√50 + √18 işleminin sonucu kaçtır?

A) 5√2 B) 6√2 C) 7√2 D) 8√2 E) 9√2

Çözüm

Önce her iki kökü de sadeleştirelim.

√50 = √(25×2) = 5√2

√18 = √(9×2) = 3√2

Şimdi aynı radikale sahip oldukları için toplayabiliriz: 5√2 + 3√2 = 8√2

Cevap: D) 8√2

Köklü sayılarda çarpma

√a × √b = √(a·b)

√3 × √12 işleminin sonucu kaçtır?

A) √15 B) √36 C) 6 D) 4√3 E) 36

Çözüm

Çarpma kuralı: √3 × √12 = √(3×12) = √36

√36 = 6

Cevap: C) 6

Paydayı rasyonel yapma

Bir kesrin paydasında kök varsa, ALES bu kökü paydan kurtarmanı ister. Yöntem: pay ve paydayı aynı kökle çarparsın.

1√a = 1√a × √a√a = √aa

İki terimli paydalarda (√a − √b gibi) ise eşlenik (√a + √b) ile çarpılır, çünkü (x−y)(x+y)=x²−y² özdeşliği paydadaki kökü yok eder.

1√2 ifadesinin paydası rasyonel yapılmış hâli aşağıdakilerden hangisidir?

A) √2 B) 2√2 C) √22 D) 2√2 E) 12

Çözüm

Pay ve paydayı √2 ile çarpalım: (1×√2)/(√2×√2) = √2/2

Cevap: C) √2/2

1√5 − √3 ifadesinin paydası rasyonel yapılmış hâli aşağıdakilerden hangisidir?

A) √5+√3 B) √5−√3 C) (√5+√3)/2 D) (√5−√3)/2 E) 2(√5+√3)

Çözüm

Paydanın eşleniği (√5+√3) ile pay ve paydayı çarparız.

Payda: (√5−√3)(√5+√3) = 5−3 = 2 (iki kare farkı özdeşliği)

Pay: 1×(√5+√3) = √5+√3

Sonuç: (√5+√3)/2

Cevap: C) (√5+√3)/2

Kök ile üslü sayı ilişkisi

Kök alma işlemi, kesirli bir üs almaktır: √a = a^(1/2), ³√a = a^(1/3). Bu ilişki sayesinde köklü ifadeleri üslü sayı kurallarıyla da işleyebilirsin.

ALES seviyesine çıkmak

Köklü sorularda ALES iki şey ister: kökleri aynı kök içine indirgemek (√12 = 2√3 gibi) ve sonra ortak terimi sadeleştirmek. Bunlara ek olarak ondalık ve kesirli sayıların kökü de sorulur.

√(a·b) = √a·√b ve √(a/b) = √a / √b.
Ondalıkta: √0,09 = 0,3 (çünkü 0,3·0,3 = 0,09). Virgülden sonraki basamak sayısı kök alınca yarıya iner.
Karşılaştırmada her şeyi tek kök içine al: 2√3 = √12, 3√2 = √18.
(√a − b)(√a + b) = a − b²: eşleniğiyle çarpım köklü ifadeyi yok eder.

√(a + b) ≠ √a + √b. √(9 + 16) = √25 = 5, ama √9 + √16 = 7. Kök toplamaya dağılmaz; önce içeriyi hesapla.

√(1 + 79) işleminin sonucu kaçtır? A) 43 B) 53 C) 89 D) 1 + √73 E) 73

Çözüm

Önce kök içini topla: 1 + 79 = 169. √(169) = 43.

D şıkkı, kökü toplamaya dağıtma hatasının sonucudur.

Cevap: A) 43

√18 + √8√50 − √2 işleminin sonucu kaçtır? A) 12 B) 34 C) 1 D) 54 E) 2

Çözüm

Hepsini √2 cinsinden yaz: √18 = 3√2, √8 = 2√2, √50 = 5√2.

Pay 5√2, payda 4√2. Sonuç 54.

Cevap: D) 54

√12 + √27√3 işleminin sonucu kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 9

Çözüm

√12 = 2√3, √27 = 3√3. Pay 5√3; √3 ile bölünce 5.

Cevap: C) 5

a = 2√3, b = 3√2, c = √11 sayılarının küçükten büyüğe sıralanışı hangisidir? A) a < b < c B) c < a < b C) c < b < a D) b < a < c E) a < c < b

Çözüm

Tek kök içine al: a = √12, b = √18, c = √11. Kök içi büyük olan büyüktür: 11 < 12 < 18.

Cevap: B) c < a < b

(√5 − 2)(√5 + 2) işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 3 C) √5 D) 2√5 E) 9

Çözüm

İki kare farkı: (√5)² − 2² = 5 − 4 = 1.

Cevap: A) 1

Kökü içeri alma

"Kökü dışarı çıkarma" işleminin tam tersi de sık istenir: kök dışındaki bir katsayıyı, kökün içine sokmak.

m·√k = √(m²·k)

Yani kök dışındaki sayıyı, karesini alarak kök içine taşırsın.

Mini örnek: 3√5 ifadesini tek kök altında yazalım. 3'ün karesi 9'dur, bu yüzden 3√5 = √(9×5) = √45. Bu işlem özellikle iki köklü ifadeyi büyüklük olarak karşılaştırırken işine yarar; çünkü ikisini de tek kök altına aldığında, kök içindeki sayıları doğrudan karşılaştırabilirsin. Örneğin 4√2 ile 3√3'ü karşılaştırmak istersen, ikisini de tek kök içine alırsın: 4√2=√32, 3√3=√27; 32 > 27 olduğu için 4√2 daha büyüktür.

Köklü sayılarda bölme

√a√b = √(ab) (b > 0)

Çarpmada olduğu gibi bölmede de iki kökü tek bir kök altında birleştirebilirsin; kök içindeki sayıları böl, sonra sadeleştir.

Mini örnek: √32 ÷ √2 işlemini yapalım. Önce tek kök altında birleştirelim: √(32/2) = √16 = 4. Böylece bölme işlemini, önce kökleri ayrı ayrı hesaplamak yerine, tek kök içinde toplayıp sonra sadeleştirerek çok daha hızlı çözmüş olursun.

n. dereceden kök (küpkök ve devamı)

ⁿ√a ifadesi, n'inci kuvveti a olan sayıdır: ⁿ√a = x ⇒ xⁿ = a. n=2 ise kareköktür (genelde n yazılmaz), n=3 ise küpköktür.

Örnek: ³√8 = 2, çünkü 2³ = 8. ³√27 = 3, çünkü 3³ = 27.

Kare kökten farklı olarak, küpkökte (ve tek dereceden köklerde) negatif sayıların da kökü alınabilir: ³√(−8) = −2, çünkü (−2)³ = −8. Bu, karekökten (√(−4) gibi bir ifadenin ALES seviyesinde tanımsız kabul edilmesinden) önemli bir farktır — kökün derecesi tek mi çift mi, buna dikkat etmelisin.

Pratik bir kural olarak şunu aklında tut: kök işaretinin altındaki üs ile kökün derecesi eşitse (ör. ⁴√(x⁴) gibi), sonuç yine |x| olur; ama üs kökün derecesinin katıysa ve kalan üs de o dereceye bölünüyorsa (ör. ⁶√(x⁶)) aynı mantık geçerlidir. Kısacası çift dereceden bir kökten çıkan her ifade negatif olamaz; bu yüzden sonucu her zaman "işaretten bağımsız, sıfır veya pozitif" olarak düşünmelisin.

Adım adım çözüm şablonu: köklü ifade sadeleştirme

Köklü bir ifadeyi sadeleştirirken şu sırayı izle:

Kök içindeki sayıyı "tam kare (ya da tam küp) × kalan" şeklinde çarpanlarına ayır.
Tam kare/küp kısmı kökten dışarı çıkar, kalan kök içinde kalsın.
Toplama-çıkarma varsa, her terimi bu şekilde sadeleştirip AYNI radikalleri bir araya getir.
Çarpma-bölme varsa, önce kökleri tek kök altında birleştir (√a·√b=√(ab), √a/√b=√(a/b)), sonra sadeleştir.
Paydada kök kalmışsa, tek terimliyse aynı kökle, iki terimliyse eşlenikle çarparak paydayı rasyonel yap.
Son hâli en sade radikal biçiminde yaz ve şıklarla karşılaştır.

Tuzak: ³√(−8) gibi tek dereceden (küp) köklerde negatif sayının kökü alınabilir ve sonuç negatif çıkar (³√(−8)=−2). Ama √(−4) gibi çift dereceden (kare) köklerde negatif sayının kökü ALES seviyesinde tanımsızdır; "kök her zaman pozitif bir sonuç verir" kuralı yalnızca çift dereceden köklerde ve kökün İÇİNDEKİ sayı negatif OLMADIĞINDA geçerlidir. Kökün derecesine (kare mi küp mü) her zaman dikkat et.

Bir başka önemli ayrım: √(x²) ifadesi her zaman x değil, |x| yani x'in mutlak değeridir. Örneğin x=−5 olsun: x²=25, √25=5, yani √(x²)=5=|−5| olur; x'in kendisi olan −5 değil. ALES bu ayrımı bazen "x negatif bir sayı olmak üzere √(x²) ifadesinin eşiti nedir?" şeklinde sorarak seni doğrudan x yazmaya (yani hataya) yönlendirmeye çalışır. Doğru cevap her zaman −x'tir; çünkü x negatifken −x pozitif olur ve bu, mutlak değere eşittir. Bu tuzağı gözden kaçırmamak için kural şudur: kök işareti önündeki ifade kare içeriyorsa, sonucu her zaman negatif olmayan (≥0) bir değer olarak düşün, ham x'i değil.

Daha fazla ALES seviyesi örnek

√48 ifadesinin sadeleştirilmiş hâli aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2√12 B) 3√16 C) 4√3 D) 6√8 E) 12√4

Çözüm

48'i tam kare içeren çarpanlarına ayıralım: 48 = 16 × 3

16 tam karedir (4²=16): √48 = √(16×3) = √16 × √3 = 4√3

Cevap: C) 4√3

√2 × √8 işleminin sonucu kaçtır?

A) √10 B) √16 C) 2 D) 4 E) 16

Çözüm

Çarpma kuralı: √2 × √8 = √(2×8) = √16

√16 = 4

Cevap: D) 4

√75 − √27 işleminin sonucu kaçtır?

A) √3 B) 2√3 C) 3√3 D) 4√3 E) 5√3

Çözüm

Her iki kökü de sadeleştirelim: √75 = √(25×3) = 5√3, √27 = √(9×3) = 3√3

Aynı radikale sahip oldukları için çıkarabiliriz: 5√3 − 3√3 = 2√3

Cevap: B) 2√3

Kendini dene

√32 ifadesinin sadeleştirilmiş hâli nedir?

Cevap

32 = 16×2, √32 = √16×√2 = 4√2

√5 × √5 işleminin sonucu kaçtır?

Cevap

√5×√5 = √(5×5) = √25 = 5

3√2 + 2√2 işleminin sonucu kaçtır?

Cevap

Aynı radikal (√2), katsayılar toplanır: 3+2=5, sonuç 5√2

√0,04 işleminin sonucu kaçtır?

Cevap

0,2×0,2=0,04 olduğu için √0,04 = 0,2

√63 ÷ √7 işleminin sonucu kaçtır?

Cevap

Tek kök altında birleştir: √(63/7) = √9 = 3

Özet

√a, karesi a olan pozitif sayıdır (√a=x ⇒ x²=a, x≥0).
Kökü dışarı çıkarmak için sayıyı "tam kare × kalan" şeklinde çarpanlarına ayır.
Sadece AYNI radikale sahip köklü ifadeler toplanıp çıkarılabilir; farklıysa önce sadeleştir.
√a × √b = √(a·b); çarpımda önce köklerin içini çarpıp sonra sadeleştirmek işini kolaylaştırır.
Paydada tek terim kök varsa aynı kökle, iki terimli ifade varsa eşlenikle çarparak paydayı rasyonel yap.
√a = a^(1/2) ilişkisini unutma; kök ve üslü sayı kuralları birbirinin devamıdır.
Kökü içeri almak için dışarıdaki katsayının karesini alıp kök içine sok: m·√k = √(m²·k).
Bölmede de kökler tek kök altında birleşir: √a/√b = √(a/b).
ⁿ√a, n'inci kuvveti a olan sayıdır; küpkökte (tek dereceli kökte) negatif sayının da kökü alınabilir, ama karekökte (çift dereceli) alınamaz.