ALES Sayısal · 2. hafta

Çarpanlara ayırma ve özdeşlikler

Bu konudan sınavda ortalama 4,0 soru çıkıyor (son 11 ALES).

Çarpanlara ayırma ve özdeşlikler, ALES'te ayrı bir soru başlığı olarak nadiren görünür; ama işlem sorularının içine gizlenmiş halde çok sık kullanılır. Özellikle "iki kare farkı" özdeşliği, büyük sayılarla yapılan çarpma-çıkarma işlemlerini saniyeler içinde çözmeni sağlar (ör. 101² − 99² gibi). Bu yüzden bu dersi bilmek, diğer derslerdeki soruları hızlandırır.

Ortak çarpan parantezine alma

Bir toplamda ya da farkta ortak bir çarpan varsa, bu çarpan parantezine alınabilir:

a·c + b·c = c·(a+b)

3×7 + 3×13 işleminin sonucu kaçtır?

A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80

Çözüm

Ortak çarpan 3'ü parantezine alalım: 3×7+3×13 = 3×(7+13) = 3×20

3×20 = 60

Cevap: C) 60

İki kare farkı özdeşliği

a² − b² = (a−b)(a+b)

Bu özdeşlik, ardışık ya da birbirine yakın iki sayının karelerinin farkını çok hızlı hesaplamanı sağlar.

101² − 99² işleminin sonucu kaçtır?

A) 200 B) 300 C) 400 D) 500 E) 600

Çözüm

İki kare farkı özdeşliğini kullanalım: 101² − 99² = (101−99)(101+99)

= 2 × 200 = 400

(Karşılaştırma: doğrudan hesaplasaydık 10201−9801=400 çıkardı, aynı sonuç ama çok daha uzun sürerdi.)

Cevap: C) 400

Tuzak: a²−b² ifadesini (a−b)² sanmak sık yapılan bir hatadır. Bunlar tamamen farklı ifadelerdir: a²−b²=(a−b)(a+b) iken (a−b)²=a²−2ab+b²'dir. Birbirine karıştırma.

Tam kare özdeşlikleri

(a+b)² = a² + 2ab + b²

(a−b)² = a² − 2ab + b²

Bu özdeşlikler, iki basamaklı bir sayının karesini "onlar + birler" şeklinde ayırıp hızlı hesaplamak için de kullanılabilir.

23² işleminin sonucu kaçtır?

A) 429 B) 469 C) 499 D) 529 E) 549

Çözüm

23'ü (20+3) şeklinde yazalım ve tam kare özdeşliğini uygulayalım:

(20+3)² = 20² + 2×20×3 + 3² = 400 + 120 + 9

= 529

Cevap: D) 529

Küp özdeşlikleri (kısaca)

a³ − b³ = (a−b)(a² + ab + b²)

a³ + b³ = (a+b)(a² − ab + b²)

Bu ikisi ALES'te çok nadir çıkar ama isimlerini ve genel yapılarını tanıman yeterlidir.

7³ − 4³ işleminin sonucu kaçtır?

A) 259 B) 269 C) 279 D) 289 E) 299

Çözüm

Küp farkı özdeşliği: 7³−4³ = (7−4)(7²+7×4+4²) = 3×(49+28+16) = 3×93

3×93 = 279

(Direkt hesap: 343−64=279, aynı sonuç.)

Cevap: C) 279

Sadeleştirme soruları

Çarpanlara ayırma en çok kesir sadeleştirme sorularında işine yarar. Bir kesrin payı ya da paydası çarpanlarına ayrılabiliyorsa, ortak çarpanları sadeleştirebilirsin.

x = 10 için x² − 9x − 3 ifadesinin değeri kaçtır?

A) 7 B) 10 C) 13 D) 16 E) 19

Çözüm

Pay iki kare farkıdır: x²−9 = x²−3² = (x−3)(x+3)

Kesir: (x−3)(x+3) / (x−3) = x+3 (x≠3 iken sadeleşir)

x=10 için: 10+3 = 13

Kontrol: x=10 iken pay=100−9=91, payda=10−3=7, 91/7=13 ✓

Cevap: C) 13

Sayısal işlemlerde gizli özdeşlik kullanımı

Dikkat: ALES'te "998×1002 kaçtır?" gibi bir soru gördüğünde bunu düz çarpma ile çözmeye çalışma; sayıları 1000'e yakın iki sayı olarak görüp (1000−2)(1000+2)=1000²−2² şeklinde iki kare farkına çevir. Bu, hem zaman kazandırır hem hata riskini azaltır.

998 × 1002 işleminin sonucu kaçtır?

A) 999 996 B) 999 998 C) 1 000 000 D) 1 000 004 E) 1 000 996

Çözüm

998 ve 1002 sayılarını 1000'e göre yazalım: 998=1000−2, 1002=1000+2

İki kare farkı: (1000−2)(1000+2) = 1000² − 2² = 1 000 000 − 4

= 999 996

Cevap: A) 999 996

ALES seviyesine çıkmak

Özdeşlikler ALES'te iki biçimde karşına çıkar: büyük sayılarla hesap yaptıran işlem soruları (2025² − 2024² gibi) ve verilen toplam-çarpım bilgisinden başka bir ifadeyi bulduran sorular (a + b ve ab verilip a² + b² sorulması gibi).

a² + b² = (a + b)² − 2ab
a² − b² = (a − b)(a + b)
x² + 1x² = (x + 1x)² − 2
x² + bx + c ifadesini çarpanlara ayırırken çarpımı c, toplamı b olan iki sayı ara: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

(a + b)² ≠ a² + b². Ortadaki 2ab terimini unutmak en sık yapılan hatadır: (3 + 4)² = 49, ama 3² + 4² = 25.

a + b = 7 ve a·b = 10 olduğuna göre a² + b² kaçtır? A) 19 B) 29 C) 39 D) 49 E) 59

Çözüm

a² + b² = (a + b)² − 2ab = 49 − 20 = 29. a ile b'yi tek tek bulmana gerek yok; 5 ve 2 olduklarını görsen de bu yol daha hızlıdır.

Cevap: B) 29

a − b = 3 ve a² − b² = 33 olduğuna göre a + b kaçtır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

Çözüm

a² − b² = (a − b)(a + b) ⇒ 33 = 3·(a + b) ⇒ a + b = 11.

Cevap: C) 11

2025² − 2024² işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2024 C) 4048 D) 4049 E) 4050

Çözüm

İki kare farkı: (2025 − 2024)(2025 + 2024) = 1·4049 = 4049. Ardışık iki sayının karelerinin farkı, bu iki sayının toplamına eşittir.

Cevap: D) 4049

x + 1x = 4 olduğuna göre x² + 1x² kaçtır? A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

Çözüm

Her iki tarafın karesini al: x² + 2 + 1x² = 16. Ortadaki 2, 2·x·1x teriminden gelir. O hâlde x² + 1x² = 14.

Cevap: B) 14

x ≠ −2 olmak üzere x² − 4x² + 4x + 4 ifadesinin sadeleşmiş hâli hangisidir? A) x − 2x + 2 B) x + 2x − 2 C) x − 2 D) 1 E) 1x + 2

Çözüm

Pay iki kare farkı: (x − 2)(x + 2). Payda tam kare: (x + 2)². Bir (x + 2) sadeleşir: x − 2x + 2.

Cevap: A) x − 2x + 2

Ortak çarpanı bulurken değişkenli terimleri de hesaba kat

Ortak çarpan yalnızca sayı olmak zorunda değildir; terimlerde ortak geçen harfler de parantezine alınabilir. Bunu bulmak için sayısal kısımların ortak çarpanını (EBOB mantığıyla) ve harfli kısımların her terimde ortak geçen en küçük üssünü ayrı ayrı tespit edersin.

Değişkenli ortak çarpan bulma adımları:

Terimlerin sayı katsayılarının ortak çarpanını bul.
Her terimde ortak geçen harfleri, en küçük üssüyle birlikte belirle.
Bulduğun sayısal ve harfli ortak çarpanı parantezin dışına al; parantez içine her terimi bu ortak çarpana bölerek yaz.

Mini örnek: 6x²y + 9xy² ifadesinde sayısal ortak çarpan 3'tür (6 ve 9'un ortak çarpanı), harfli ortak çarpan ise xy'dir (x hem x² hem x'te var, en küçük üs 1; y de aynı şekilde). Sonuç: 6x²y + 9xy² = 3xy(2x + 3y).

Dört terimli ifadelerde gruplandırma yöntemi

Bazı ifadelerde tüm terimlerin ortak bir çarpanı yoktur ama terimler ikişerli gruplara ayrıldığında her grup kendi içinde bir ortak çarpana sahip olabilir. Bu yönteme gruplandırma denir.

Gruplandırarak çarpanlara ayırma: ax + ay + bx + by ifadesinde ilk iki terimden a, son iki terimden b ortak çarpanını alırsan:

ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)

Kritik nokta: iki gruptan sonra parantez içindeki ifade (burada x+y) aynı çıkmalıdır; aynı çıkmıyorsa terimleri farklı ikişerli gruplamayı dene.

Mini örnek: xy + 3x + 2y + 6 ifadesini gruplandıralım: (xy + 3x) + (2y + 6) = x(y + 3) + 2(y + 3) = (x + 2)(y + 3).

x² + bx + c tipi ifadelerde çarpanlara ayırma — adım adım şablon

Adım adım çözüm şablonu:

c'nin çarpan çiftlerini, işaretleriyle birlikte listele.
Bu çiftlerden toplamı b'ye eşit olan çifti (p ve q) seç.
Sonucu (x + p)(x + q) biçiminde yaz.
Parantezleri açarak x² + bx + c'ye geri döndüğünü kontrol et.

Mini örnek: x² + 2x − 15 ifadesinde c = −15'in çarpımı −15, toplamı 2 olan çifti ara: 5 ve −3 (5×(−3)=−15, 5+(−3)=2). Sonuç: x² + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3).

Tuzak: x² − x − 6 gibi negatif b ve negatif c içeren ifadelerde çarpım −6, toplam −1 olan çift aranır: bu çift −3 ve 2'dir (−3×2=−6, −3+2=−1), yani sonuç (x − 3)(x + 2)'dir. Birçok kişi işaretleri karıştırıp (x + 3)(x − 2) yazar; bu yanlıştır çünkü açıldığında x² + x − 6 çıkar, ortadaki terimin işareti tersine döner. Bulduğun çifti mutlaka açıp kontrol et.

Yeni çözümlü örnekler

xy + 4x + 3y + 12 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x+3)(y+4) B) (x+4)(y+3) C) (x−3)(y−4) D) (x+3)(y−4) E) (x−3)(y+4)

Çözüm

Terimleri ikişerli gruplayalım: (xy + 4x) + (3y + 12) = x(y + 4) + 3(y + 4)

Ortak çarpan (y+4)'ü parantezine alalım: (x + 3)(y + 4)

Kontrol: (x+3)(y+4) = xy + 4x + 3y + 12, verilen ifadeyle aynı ✓

Cevap: A) (x+3)(y+4)

x² − 2x − 24 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x−6)(x+4) B) (x+6)(x−4) C) (x−8)(x+3) D) (x+8)(x−3) E) (x−4)(x−6)

Çözüm

Çarpımı −24, toplamı −2 olan iki sayı arıyoruz. −6 ve 4'ü deneyelim: −6×4=−24, −6+4=−2 ✓

Sonuç: x² − 2x − 24 = (x − 6)(x + 4)

Kontrol: (x−6)(x+4) = x² + 4x − 6x − 24 = x² − 2x − 24, verilen ifadeyle aynı ✓

Cevap: A) (x−6)(x+4)

37 × 43 işleminin sonucu, iki kare farkı özdeşliği kullanılarak nasıl hesaplanır? Buna göre bu işlemin sonucu kaçtır?

A) 1571 B) 1581 C) 1591 D) 1601 E) 1611

Çözüm

37 ve 43, 40'a eşit uzaklıkta iki sayıdır: 37 = 40−3, 43 = 40+3.

İki kare farkı: (40−3)(40+3) = 40² − 3² = 1600 − 9

= 1591

Cevap: C) 1591

Kendini dene

4x + 4y ifadesini çarpanlarına ayır.

Çözüm

Ortak çarpan 4'tür: 4x + 4y = 4(x + y).

Cevap: 4(x + y)

15² işlemini tam kare özdeşliğini kullanarak hesapla.

Çözüm

15 = 10 + 5. (10+5)² = 10² + 2×10×5 + 5² = 100 + 100 + 25 = 225.

Cevap: 225

52 × 48 işlemini iki kare farkı özdeşliğini kullanarak hesapla.

Çözüm

52 = 50+2, 48 = 50−2. (50+2)(50−2) = 50² − 2² = 2500 − 4 = 2496.

Cevap: 2496

x² + 7x + 10 ifadesini çarpanlarına ayır.

Çözüm

Çarpımı 10, toplamı 7 olan çift: 2 ve 5. Sonuç: (x + 2)(x + 5).

Cevap: (x + 2)(x + 5)

xy + 5x + 2y + 10 ifadesini gruplandırarak çarpanlarına ayır.

Çözüm

(xy + 5x) + (2y + 10) = x(y + 5) + 2(y + 5) = (x + 2)(y + 5).

Cevap: (x + 2)(y + 5)

Özet

Ortak çarpan parantezine alma: a·c+b·c = c·(a+b); büyük çarpımları küçültmek için kullan.
Ortak çarpan sayı olabileceği gibi, terimlerde ortak geçen değişken de olabilir (örn. 6x²y+9xy²=3xy(2x+3y)).
Dört terimli ifadelerde gruplandırma yöntemiyle ax+ay+bx+by = (a+b)(x+y) biçiminde çarpanlarına ayrılabilir.
x²+bx+c tipi ifadelerde çarpımı c, toplamı b olan iki sayı bulup (x+p)(x+q) yaz; işaretlere dikkat et.
İki kare farkı: a²−b² = (a−b)(a+b) — birbirine yakın sayıların kare farkını anında hesaplatır.
Tam kare özdeşlikleri: (a±b)² = a² ± 2ab + b²; iki basamaklı sayıların karesini almakta işine yarar.
a²−b² ile (a−b)²'yi asla birbirine karıştırma, tamamen farklı ifadelerdir.
Küp özdeşlikleri (a³±b³) ALES'te nadir çıkar ama genel yapısını tanı.
Kesir sadeleştirme sorularında payı/paydayı çarpanlarına ayırıp ortak terimi sadeleştir.
1000'e yakın iki sayının çarpımı gibi görünen sorularda iki kare farkı özdeşliğini akılda tut, işlemi kısalt.