ALES Sayısal · 1. hafta
Sayılar ve temel kavramlar
Bu konudan sınavda ortalama 3,8 soru çıkıyor (son 11 ALES).
ALES sayısal bölümünde "Sayı Kavramları" konusu her sınavda ortalama 3-4 soru ile karşına çıkıyor. Genelde 4-8. sorular ile 15. soru civarında görürsün. En sık çıkan iki kalıp şunlar: basamak-rakam ilişkisi (ör. "AB7 − AB = AA1 ise A+B kaçtır?" tarzı sorular) ve faktöriyel sadeleştirme (ör. 8!/6! gibi ifadeleri kısaltmak). Bunun yanında tek-çift ve pozitif-negatif işaret kurallarına dayanan "her zaman ... olur" tarzı genel sorular da sık görülür.
Sayı kümeleri
Önce zihinde bir harita çizelim. Sayılar iç içe geçmiş kümeler halinde büyür:
- Doğal sayılar (ℕ): 0, 1, 2, 3, … (negatif yok, kesir yok)
- Tam sayılar (ℤ): …, −2, −1, 0, 1, 2, … (doğal sayılar + negatifleri)
- Rasyonel sayılar (ℚ): iki tam sayının oranı şeklinde yazılabilen sayılar (ab, b≠0). Örnek: 1/2, −3, 0.75
- Reel sayılar (ℝ): rasyonel + irrasyonel (√2, π gibi kesir olarak yazılamayan) sayıların tümü
ALES'te bu kümeler genelde tek başına değil, "hangi kümeye aittir / ait değildir" şeklinde küçük bir tuzak olarak karşına çıkar. Örneğin √4 = 2 olduğu için aslında doğal sayıdır; ama √2 irrasyoneldir, rasyonel sayı kümesine girmez.
Bir sayının hangi kümeye ait olduğunu anlamak için kendine şu soruları sor: "Negatif mi?" (evetse doğal sayı değildir, ama tam sayıdır), "Kesirli mi yazılabiliyor mu?" (evetse rasyoneldir), "Kök içinde tam kare var mı?" (yoksa irrasyoneldir). Örneğin −5 bir tam sayıdır ama doğal sayı değildir; 0.6 rasyoneldir çünkü 3/5 şeklinde yazılabilir; π ise irrasyoneldir çünkü hiçbir kesirle tam olarak ifade edilemez.
Basamak ve rakam
İki basamaklı bir sayıyı AB şeklinde yazdığımızda, bunun gerçek değeri:
AB = 10·A + B
Burada A onlar basamağı (1-9 arası, çünkü 0 olursa sayı tek basamaklı kalır), B ise birler basamağıdır (0-9 arası).
Aynı mantık üç basamaklı sayılara da uzar: ABC = 100·A + 10·B + C.
Rakamları toplamı 12 olan ve birler basamağı, onlar basamağından 2 fazla olan iki basamaklı sayı kaçtır?
A) 39 B) 48 C) 57 D) 66 E) 75
Çözüm
Sayıyı AB olarak yazalım: A onlar, B birler basamağı.
Rakamlar toplamı: A + B = 12
Birler, onlardan 2 fazla: B = A + 2
Bunu yerine koyarsak: A + (A+2) = 12 ⇒ 2A = 10 ⇒ A = 5, B = 7
Sayı: 57
Cevap: C) 57
AB iki basamaklı bir sayıdır. A, B ve 7 rakamlarından oluşan üç basamaklı sayı olan AB7 ile AB sayısının farkı AA1 sayısına eşittir (AA1'de ilk iki rakam birbirine eşit, son rakam 1'dir). Buna göre A+B kaçtır?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
Çözüm
AB = 10A + B, AB7 = 100A + 10B + 7
Fark: AB7 − AB = (100A+10B+7) − (10A+B) = 90A + 9B + 7
AA1 = 110A + 1 (çünkü ilk iki basamak A, son basamak 1)
Denklem: 90A + 9B + 7 = 110A + 1 ⇒ 9B + 6 = 20A
A ve B birer rakam olduğuna göre (A: 1-9, B: 0-9) deneme yaparsak A=3, B=6 çözümü denklemi sağlar: 9·6+6=60=20·3 ✓
Kontrol: AB=36, AB7=367, 367−36=331=AA1 (A=3) ✓
A+B = 3+6 = 9
Cevap: C) 9
Tek-çift kuralları
- çift ± çift = çift
- tek ± tek = çift
- çift ± tek = tek
- çift × (herhangi bir tam sayı) = çift
- tek × tek = tek
- tek sayının karesi her zaman tektir; çift sayının karesi her zaman çifttir
Bu kurallar sözel değil, ezberlenecek küçük bir tablo gibi düşünülmeli. ALES soruları genelde bunları tek tek sormaz, birkaçını bir arada kullanmanı ister.
Tuzak: "0 sayısı ne çift ne tektir" diye düşünmek yanlıştır. 0 sayısı ÇİFTTİR (0÷2=0, tam bölünüyor). Ayrıca 0, ne pozitiftir ne negatiftir; bu ayrı bir konudur, çift-tek durumuyla karıştırma.
x bir tek sayı olmak üzere, x² + x ifadesinin çift ya da tek olması hakkında ne söylenebilir?
A) Her zaman tek B) Her zaman çift C) x'e göre değişir D) Her zaman 0 E) Hiçbiri
Çözüm
x tek olduğu için x² de tektir (tek×tek=tek).
tek + tek = çift
Birkaç değer deneyelim: x=1 → 1+1=2 (çift), x=3 → 9+3=12 (çift), x=5 → 25+5=30 (çift). Hepsi çift çıkıyor, kural doğrulanıyor.
Cevap: B) Her zaman çift
Pozitif-negatif işaret kuralları
- (+)×(+) = (+), (−)×(−) = (+), (+)×(−) = (−)
- Bir negatif sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir: (−2)² = 4, (−2)³ = −8
- "Her zaman pozitiftir" sorularında en sağlam yöntem: karesi alınmış bir ifade (x² gibi) her zaman ≥ 0'dır; ama x² + 1 gibi bir ifade her zaman kesin pozitiftir.
Tuzak: "x² her zaman pozitiftir" ifadesi YANLIŞTIR, çünkü x=0 olduğunda x²=0 olur (pozitif değil, sıfırdır). Doğru ifade: "x² her zaman negatif değildir" ya da "x² ≥ 0'dır."
(−3) × (−4) × (−2) işleminin sonucu kaçtır?
A) −24 B) −9 C) 9 D) 24 E) 24 negatif olamaz
Çözüm
Negatif sayıların çarpımında işareti belirlemek için negatif sayı sayısını sayarız: burada 3 tane negatif sayı var (tek sayıda negatif).
Tek sayıda negatif çarpan varsa sonuç negatif olur.
Mutlak değerler çarpımı: 3×4×2 = 24, işaret negatif olduğu için sonuç: −24
Cevap: A) −24
Kısacası: bir çarpımda kaç tane negatif sayı olduğunu say. Negatif sayı adedi çiftse sonuç pozitif, tekse sonuç negatif olur. Aynı mantık negatif bir sayının kuvvetleri için de geçerlidir: (−2)⁴=16 (çift kuvvet, pozitif) ama (−2)⁵=−32 (tek kuvvet, negatif).
Ardışık sayılar
Ardışık tam sayılar: n, n+1, n+2, …
Ardışık çift (ya da tek) sayılar: n, n+2, n+4, … (aralarındaki fark hep 2'dir)
1'den n'e kadar olan doğal sayıların toplamı için hazır bir formül vardır: 1+2+3+…+n = n(n+1)/2. Bu formülü ezbere bilmen, uzun toplama yapmandan seni kurtarır.
1'den 20'ye kadar olan doğal sayıların toplamı kaçtır?
A) 190 B) 200 C) 210 D) 220 E) 230
Çözüm
Formülü kullanalım: n(n+1)/2, burada n=20
20×21/2 = 420/2 = 210
Cevap: C) 210
Ardışık üç tek sayının toplamı 51 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır?
A) 15 B) 17 C) 19 D) 21 E) 23
Çözüm
Sayıları x, x+2, x+4 olarak yazalım (ardışık tek sayılar).
Toplam: x + (x+2) + (x+4) = 3x + 6 = 51
3x = 45 ⇒ x = 15
Sayılar: 15, 17, 19. En büyüğü 19.
Kontrol: 15+17+19 = 51 ✓
Cevap: C) 19
Faktöriyel
n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1 (n! okunuşu "n faktöriyel")
Özel durum: 0! = 1 (ezbere bilinmesi gerekir, ALES bunu sıkça sorar)
Sadeleştirme mantığı: 8!/6! ifadesinde 6! kısmı hem payda hem paydan sadeleşir, geriye sadece 8×7 kalır.
8!6! işleminin sonucu kaçtır?
A) 42 B) 48 C) 56 D) 64 E) 72
Çözüm
8! = 8×7×6×5×4×3×2×1, 6! = 6×5×4×3×2×1
8!/6! ifadesinde 6! kısmı sadeleşir, geriye 8×7 kalır.
8×7 = 56
Cevap: C) 56
Tuzak: Faktöriyel sadeleştirmede öğrenciler genelde n!/m! ifadesini n/m sanıp direkt bölme yapmaya kalkışır. Bu YANLIŞTIR. Doğru yol: büyük faktöriyeli açıp küçük faktöriyeli sadeleştirmektir. 8!/6! asla 8/6 değildir.
5! + 4! işleminin sonucu kaçtır?
A) 9 B) 96 C) 100 D) 120 E) 144
Çözüm
5! = 5×4×3×2×1 = 120
4! = 4×3×2×1 = 24
5! + 4! = 120 + 24 = 144
Cevap: E) 144
Ardışık dört doğal sayının toplamı 74 olduğuna göre, bu sayıların en küçüğü kaçtır?
A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19
Çözüm
Sayıları x, x+1, x+2, x+3 olarak yazalım.
Toplam: x + (x+1) + (x+2) + (x+3) = 4x + 6 = 74
4x = 68 ⇒ x = 17
Sayılar: 17, 18, 19, 20. En küçüğü 17.
Kontrol: 17+18+19+20 = 74 ✓
Cevap: C) 17
Faktöriyel sadeleştirmede bir başka sık kalıp da, iki ardışık faktöriyelin bölümü yerine, aralarında iki basamak fark olan faktöriyellerin bölümüdür. Mantık aynıdır: büyük faktöriyeli, küçüğe kadar açıp sadeleştirirsin.
6!4! işleminin sonucu kaçtır?
A) 20 B) 24 C) 30 D) 36 E) 42
Çözüm
6! = 6×5×4×3×2×1, 4! = 4×3×2×1
6!/4! ifadesinde 4! sadeleşir, geriye 6×5 kalır.
6×5 = 30
Cevap: C) 30
Rakamları yer değiştirmiş sayılar
Basamak-rakam konusunun ALES'te çok sevilen bir başka kalıbı da, bir sayının rakamlarının yerini değiştirerek elde edilen yeni sayı ile eski sayı arasındaki ilişkidir. Bu, sıfırdan öğrenmesi kolay ama bilmeyince şaşırtan bir kısayoldur.
İki basamaklı AB sayısı ile rakamları yer değiştirilmiş BA sayısı arasındaki fark her zaman 9'un katıdır:
AB − BA = (10A+B) − (10B+A) = 9A − 9B = 9(A−B)
Yani onlar ve birler basamağının farkını bulup 9 ile çarparsan, iki sayı arasındaki farkı direkt hesaplayabilirsin — tek tek AB ve BA'yı yazmana bile gerek kalmaz.
Mini örnek: 52 sayısı ile rakamları yer değiştirilmiş 25 sayısı arasındaki fark, basamak farkına bakılarak hemen bulunabilir: A=5, B=2, A−B=3, fark=9×3=27. Kontrol edersek 52−25=27, gerçekten tutuyor. Bu kısayol, sayının kendisini bilmesen bile (yalnızca basamak farkı verilmişse) soruyu çözmeni sağlar.
İki basamaklı bir sayı ile bu sayının rakamları yer değiştirilerek elde edilen sayı arasındaki fark 45'tir. Bu sayının rakamları toplamı 11 olduğuna göre, büyük sayı kaçtır?
A) 38 B) 64 C) 72 D) 83 E) 91
Çözüm
Sayıyı AB, yer değiştirmiş hâlini BA olarak yazalım (A > B kabul edelim, çünkü AB büyük olan sayı).
Fark kuralı: AB − BA = 9(A−B) = 45 ⇒ A−B = 5
Rakamlar toplamı: A+B = 11
İki denklemi taraf tarafa toplarsak: 2A = 16 ⇒ A = 8, B = 3
Büyük sayı: AB = 83
Kontrol: 83 − 38 = 45 ✓, 8+3 = 11 ✓
Cevap: D) 83
Adım adım çözüm şablonu: basamak-rakam soruları
Basamak/rakam sorularıyla karşılaştığında şu sırayı izle:
- Sayıyı harflerle aç: iki basamaklıysa AB = 10A+B, üç basamaklıysa ABC = 100A+10B+C.
- Sorudaki her cümleyi ayrı bir denkleme çevir (toplam, fark, "2 fazla", "yarısı" gibi ifadeler birer denklemdir).
- Kaç bilinmeyen varsa o kadar bağımsız denklem elde etmeye çalış; denklemleri taraf tarafa toplayıp çıkararak harfleri tek tek çöz.
- Bulduğun A, B (varsa C) değerlerinin rakam olma şartını (0-9 arası, baştaki basamak 0 olamaz) sağladığını kontrol et.
- Son olarak bulduğun sayıyı orijinal cümlelerin hepsinde tek tek dene; bu adım hatanı yakalamanın en garanti yoludur.
Tuzak: İki basamaklı bir sayıda onlar basamağı (A) ASLA 0 olamaz, çünkü 0 olursa sayı tek basamaklı kalır (ör. "0B" aslında sadece B'dir). Ama birler basamağı (B) rahatlıkla 0 olabilir. Bir soruda "A ve B birer rakamdır" dendiğinde bu asimetriyi unutma; A için deneme aralığın 1-9, B için 0-9'dur.
Daha fazla ALES seviyesi örnek
9!7! + 3! işleminin sonucu kaçtır?
A) 48 B) 66 C) 72 D) 78 E) 84
Çözüm
Önce faktöriyel sadeleştirmesi yapalım: 9!/7! ifadesinde 7! sadeleşir, geriye 9×8 kalır.
9×8 = 72
3! = 3×2×1 = 6
Toplam: 72 + 6 = 78
Cevap: D) 78
Ardışık beş çift sayının toplamı 100 olduğuna göre, bu sayıların ortadakisi kaçtır?
A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24
Çözüm
Beş ardışık çift sayıyı ortadaki terime göre yazalım: x−4, x−2, x, x+2, x+4 (aralarındaki fark 2'şer).
Toplamları: (x−4)+(x−2)+x+(x+2)+(x+4) = 5x
5x = 100 ⇒ x = 20
Sayılar: 16, 18, 20, 22, 24. Ortadaki: 20
Kontrol: 16+18+20+22+24 = 100 ✓
Cevap: C) 20
Kendini dene
37 sayısı ile bu sayının rakamları yer değiştirilerek elde edilen 73 sayısı arasındaki fark kaçtır?
Cevap
73 − 37 = 36 (kural: 9×(7−3) = 9×4 = 36)
7!5! işleminin sonucu kaçtır?
Cevap
7!/5! ifadesinde 5! sadeleşir, geriye 7×6 kalır: 7×6 = 42
(−2)³ × (−1)⁴ işleminin sonucu kaçtır?
Cevap
(−2)³ = −8 (tek kuvvet, negatif kalır), (−1)⁴ = 1 (çift kuvvet, pozitif olur). −8 × 1 = −8
Ardışık üç çift sayının toplamı 48 olduğuna göre, ortadaki sayı kaçtır?
Cevap
Sayılar x−2, x, x+2 olsun. Toplam 3x=48 ⇒ x=16. Ortadaki sayı 16'dır.
1'den 15'e kadar olan doğal sayıların toplamı kaçtır?
Cevap
n(n+1)/2 formülü: 15×16/2 = 120
Özet
- Sayı kümeleri iç içedir: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ; √2 gibi sayılar rasyonel değildir.
- İki basamaklı AB sayısı = 10A + B; üç basamaklı ABC sayısı = 100A + 10B + C.
- Rakam toplamı ve basamak farkı sorularında sayıyı mutlaka 10A+B formunda yaz, denklemi buradan kur.
- Tek-çift kuralları: tek×tek=tek, çift ile yapılan her çarpma çift verir, tek±tek=çift.
- x² her zaman ≥ 0'dır ama "her zaman pozitiftir" demek yanlıştır (x=0 durumunu unutma).
- Ardışık sayı sorularında bilinmeyeni ortadaki (ya da ilk) terime x diyerek denklemi kur.
- 0! = 1'dir, ezbere bilmen gerekir.
- n!/m! (n>m) sadeleştirmesinde büyük faktöriyeli açıp ortak kısmı sadeleştir, asla n/m yapma.
- İki basamaklı AB ile rakamları yer değiştirilmiş BA arasındaki fark her zaman 9(A−B)'dir; sayıyı bilmesen bile basamak farkından direkt hesaplanır.
- Basamak-rakam sorularında şablon: sayıyı harflerle aç → her cümleyi denkleme çevir → denklemleri toplayıp/çıkararak çöz → rakam olma şartını (A≠0, 0-9 aralığı) kontrol et → sonucu orijinal cümlelerde dene.
- İki basamaklı bir sayıda onlar basamağı (A) asla 0 olamaz, ama birler basamağı (B) 0 olabilir.